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-===3.4. General theory (Davies–Lewis–Ozawa)===
+===3.4. Théorie générale (Davies-Lewis-Ozawa)===
-Finally, we formulate the general notion of quantum instrument. A superoperator acting in <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> is called positive if it maps the set of positive semi-definite operators into itself. We remark that, for each '''<u><math>x,\Im_A(x)</math></u>'''  given by (13) can be considered as linear positive map.
+Enfin, nous formulons la notion générale d'instrument quantique. Un super-opérateur agissant dans <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> appelé positif s'il mappe l'ensemble des opérateurs semi-définis positifs sur lui-même. Nous remarquons que, pour chaque '''<u><math>x,\Im_A(x)</math></u>''' donné par (13) peut être considéré comme une application positive linéaire.
-Generally any map<math>x\rightarrow\Im_A(x)</math>  , where for each <math>x</math>, the map <math>\Im_A(x)</math> is a positive superoperator is called ''Davies–Lewis'' (Davies and Lewis, 1970) quantum instrument.
+Généralement, toute carte <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math>, où pour chaque <math>x</math>, la carte <math>\Im_A(x)</math> est un superopérateur positif est appelée instrument quantique de Davies-Lewis (Davies et Lewis, 1970).<ref name=":0">Davies E.B., Lewis J.T. An operational approach to quantum probability. Comm. Math. Phys., 17 (1970), pp. 239-260</ref>
-Here index <math display="inline">A</math>  denotes the observable coupled to this instrument. The probabilities of <math display="inline">A</math>-outcomes are given by Born’s rule in form (15) and the state-update by transformation (14). However, Yuen (1987) pointed out that the class of Davies–Lewis instruments is too general to exclude physically non-realizable instruments. Ozawa (1984) introduced the important additional condition to ensure that every quantum instrument is physically realizable. This is the condition of complete positivity.
+Ici, l'indice 0<math display="inline">A</math>désigne l'observable couplé à cet instrument. Les probabilités de résultats <math display="inline">A</math> sont données par la règle de Born sous la forme (15) et la mise à jour d'état par transformation (14). Cependant, Yuen (1987)<ref>Yuen, H. P., 1987. Characterization and realization of general quantum measurements. M. Namiki and others (ed.) Proc. 2nd Int. Symp. Foundations of Quantum Mechanics, pp. 360–363.</ref> a souligné que la classe des instruments Davies-Lewis est trop générale pour exclure les instruments physiquement non réalisables. Ozawa (1984)<ref name=":1">Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87</ref> a introduit la condition supplémentaire importante pour s'assurer que chaque instrument quantique est physiquement réalisable. C'est la condition de la positivité complète.
-A superoperator is called ''completely positive'' if its natural extension <math display="inline">\jmath\otimes I</math> to the tensor product  <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})=\mathcal{L}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H})</math> is again a positive superoperator on <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. A map <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> , where for each <math display="inline">x</math>, the map <math>\Im_A(x)</math> is a completely positive superoperator is called ''Davies–Lewis–Ozawa'' (Davies and Lewis, 1970, Ozawa, 1984) quantum instrument or simply quantum instrument. As we shall see in Section 4, complete positivity is a sufficient condition for an instrument to be physically realizable. On the other hand, necessity is derived as follows (Ozawa, 2004).
+Un superopérateur est dit complètement positif si son extension naturelle <math display="inline">\jmath\otimes I</math> au produit tensoriel <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})=\mathcal{L}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H})</math> est à nouveau un superopérateur positif sur <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. Une carte <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math>, où pour chaque <math display="inline">x</math>, la carte <math>\Im_A(x)</math> est un superopérateur complètement positif est appelée Davies–Lewis–Ozawa (Davies et Lewis, 1970,<ref name=":0" /> Ozawa, 1984<ref name=":1" />) instrument quantique ou simplement instrument quantique. Comme nous le verrons dans la section 4, la positivité complète est une condition suffisante pour qu'un instrument soit physiquement réalisable. D'autre part, la nécessité est dérivée comme suit (Ozawa, 2004).<ref>Ozawa M. Uncertainty relations for noise and disturbance in generalized quantum measurements Ann. Phys., NY, 311 (2004), pp. 350-416</ref>
-Every observable  <math display="inline">A</math> of a system <math display="inline">S</math> is identified with the observable <math display="inline">A\otimes I</math> of a system <math display="inline">S+S'</math> with any system <math display="inline">S'</math> external to<math display="inline">S</math> .10
+Chaque  <math display="inline">A</math> observable d'un système <math display="inline">S</math> est identifié avec le <math display="inline">A\otimes I</math> observable d'un système <math display="inline">S+S'</math> avec tout système <math display="inline">S'</math> externe à <math display="inline">S</math>.(10)
-Then, every physically realizable instrument  <math>\Im_A</math> measuring <math display="inline">A</math> should be identified with the instrument  <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I
+Ensuite, tout instrument physiquement réalisable <math>\Im_A</math> mesurant <math display="inline">A</math> doit être identifié avec l'instrument <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I
-</math> measuring <math display="inline">A{\otimes}I
+</math> mesurant <math display="inline">A{\otimes}I
-</math> such that <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I(x)=\Im_A(x)\otimes I
+</math> tel que <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I(x)=\Im_A(x)\otimes I
-</math>. This implies that <math display="inline">\Im_A(x)\otimes I
+</math>. Cela implique que <math display="inline">\Im_A(x)\otimes I
-</math> is agin a positive superoperator, so that <math>\Im_A(x)</math> is completely positive.
+</math> est à nouveau un super-opérateur positif, de sorte que <math>\Im_A(x)</math> est complètement positif.
-Similarly, any physically realizable instrument <math>\Im_A(x)</math> measuring system <math display="inline">S</math> should have its extended instrument  <math display="inline">\Im_A(x)\otimes I
+De même, tout système de mesure d'instrument <math>\Im_A(x)</math> physiquement réalisable <math display="inline">S</math> devrait avoir son instrument étendu  <math display="inline">\Im_A(x)\otimes I
-</math> measuring system <math display="inline">S+S'</math> for any external system<math display="inline">S'</math>. This is fulfilled only if  <math>\Im_A(x)</math> is completely positive. Thus, complete positivity is a necessary condition for <math>\Im_A</math> to describe a physically realizable instrument.
+</math> système de mesure <math display="inline">S+S'</math> pour tout système externe <math display="inline">S'</math>. Ceci n'est rempli que si  <math>\Im_A(x)</math> est complètement positif. Ainsi, la positivité complète est une condition nécessaire pour que <math>\Im_A</math> décrive un instrument physiquement réalisable.