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(Created page with "===3.3. Non-projective state update: atomic instruments=== In general, the statistical properties of any measurement are characterized by # the output probability distribution <math display="inline">Pr\{\text{x}=x\parallel\rho\}</math>, the probability distribution of the output <math display="inline">x</math> of the measurement in the input state <math display="inline">\rho </math>; # the quantum state reduction <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)} </ma...")
 
 
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===3.3. Non-projective state update: atomic instruments===
===3.3. Mise à jour d'état non projective : instruments atomiques===


In general, the statistical properties of any measurement are characterized by
En général, les propriétés statistiques de toute mesure sont caractérisées par


# the output probability distribution <math display="inline">Pr\{\text{x}=x\parallel\rho\}</math>, the probability distribution of the output <math display="inline">x</math> of the measurement in the input state <math display="inline">\rho
# la distribution de probabilité de sortie <math display="inline">Pr\{\text{x}=x\parallel\rho\}</math>, la distribution de probabilité de la sortie <math display="inline">x</math> de la mesure dans l'état d'entrée 0 la réduction de l'état quantique <math display="inline">\rho
</math>;
</math>  
# the quantum state reduction <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)}
# la réduction d'état quantique <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)}
</math>,the state change from the input state <math display="inline">\rho
</math>, le changement d'état de l'état d'entrée <math display="inline">\rho
</math>  to the output state <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)}
</math> à l'état de sortie <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)}
</math> conditional upon the outcome <math display="inline">\text{X}=x
</math> conditionné par le résultat <math display="inline">\text{X}=x
</math> of the measurement.
</math> de la mesure.


In von Neumann’s formulation, the statistical properties of any measurement of an observable  is uniquely determined by Born’s rule (5) and the projection postulate (6), and they are represented by the map (9), an instrument of von Neumann type. However, von Neumann’s formulation does not reflect the fact that the same observable <math>A</math> represented by the Hermitian operator <math>\hat{A}</math> in <math display="inline">\mathcal{H}</math> can be measured in many ways.8 Formally, such measurement-schemes are represented by quantum instruments.
Dans la formulation de von Neumann, les propriétés statistiques de toute mesure d'un observable sont uniquement déterminées par la règle de Born (5) et le postulat de projection (6), et elles sont représentées par la carte (9), un instrument de type von Neumann. Cependant, la formulation de von Neumann ne reflète pas le fait que le même observable <math>A</math> représenté par l'opérateur Hermitien <math>\hat{A}</math> dans <math display="inline">\mathcal{H}</math> peut être mesuré de plusieurs façons8. Formellement, ces schémas de mesure sont représentés par des instruments quantiques.


Now, we consider the simplest quantum instruments of non von Neumann type, known as ''atomic instruments.'' We start with recollection of the notion of POVM (probability operator valued measure); we restrict considerations to POVMs with a discrete domain of definition <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math>. POVM is a map <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> such that for each <math display="inline">x\in X</math>,<math>\hat{D}(x)</math>  is a positive contractive Hermitian operator (called effect) (i.e.,<math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> or any <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>), and the normalization condition  
Considérons maintenant les instruments quantiques les plus simples de type non von Neumann, dits ''instruments atomiques''. Nous commençons par un rappel de la notion de POVM (Probability Operator Valued Measure) ; nous limitons les considérations aux POVM avec un domaine discret de définition <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math>. POVM est une carte <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> telle que pour chaque <math>\hat{D}(x)</math> est un opérateur Hermitien contractif positif (appelé effet) (c'est-à-dire <math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> ou tout <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>), et la condition de normalisation <math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math> est vérifiée, où <math display="inline">I</math> est l'opérateur d'unité. On suppose que pour toute mesure, la distribution de probabilité de sortie <math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}</math> est donnée par
 
<math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math>  
 
holds, where <math display="inline">I</math> 
is the unit operator. It is assumed that for any measurement, the output probability distribution <math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}</math> is given by


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où <math display="inline"> \hat{D}(x)</math> est un POVM. Pour les instruments atomiques, on suppose que les effets sont représentés concrètement sous la forme
where <math display="inline"> \hat{D}(x)</math>  is a POVM. For atomic instruments, it is assumed that effects are represented concretely in the form


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where <math display="inline"> {V}(x)</math> is a linear operator in <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Hence, the normalization condition has the form <math display="inline">\sum_x V(x)^*V(x)=I</math>.9 The Born rule can be written similarly to (5):  
 
où <math display="inline"> {V}(x)</math> est un opérateur linéaire en <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Par conséquent, la condition de normalisation a la forme <math display="inline">\sum_x V(x)^*V(x)=I</math>.9 La règle de Born peut être écrite de manière similaire à (5) :


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It is assumed that the post-measurement state transformation is based on the map:  
On suppose que la transformation de l'état post-mesure est basée sur la carte :  


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so the quantum state reduction is given by
donc la réduction de l'état quantique est donnée par


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la carte <math>x\rightarrow\mathcal{L_A(x)}</math> donnée par (13) est un instrument quantique atomique. On remarque que la règle de Born (12) peut s'écrire sous la forme
The map <math>x\rightarrow\mathcal{L_A(x)}</math> given by (13) is an atomic quantum instrument. We remark that the Born rule (12) can be written in the form


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Soit <math>\hat{A}</math> un opérateur hermitien en <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Considérons un POVM <math display="inline"> \hat{D}=\biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> avec le domaine de définition donné par le spectre de <math>\hat{A}</math>. Ce POVM représente une mesure de <math>A</math> observable si la règle de Born est vérifiée :  
Let <math>\hat{A}</math> be a Hermitian operator in <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Consider a POVM <math display="inline"> \hat{D}=\biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> with the domain of definition given by the spectrum of <math>\hat{A}</math>. This POVM represents a measurement of observable <math>A</math>  if Born’s rule holds:  


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Ainsi, en principe, les probabilités de résultats sont toujours encodées dans la décomposition spectrale de l'opérateur <math>\hat{A}</math> ou en d'autres termes les opérateurs 0<math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math>doivent être sélectionnés de telle manière qu'ils génèrent les probabilités correspondant à la décomposition spectrale de la représentation symbolique <math>\hat{A}</math> des observables <math>A</math>, c'est-à-dire que <math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> est déterminé de manière unique par <math>\hat{A}</math> en tant que <math display="inline"> \hat{D}^A(x)=\hat{E}^A(x)</math>. Nous pouvons dire que cet opérateur ne contient que des informations sur les probabilités des résultats, contrairement au schéma de von Neumann, l'opérateur <math>\hat{A}</math> ne code pas la règle de la mise à jour de l'état. Pour un instrument atomique, les mesures de l'observable <math>A</math> ont la distribution de probabilité de sortie unique selon la règle de Born (16), mais ont de nombreuses réductions d'état quantique différentes en fonction de la décomposition de l'effet <math display="inline"> \hat{D}(x)=\hat{E}^A(x)=V(x)^*V(x)</math> de telle manière que 
Thus, in principle, probabilities of outcomes are still encoded in the spectral decomposition of operator  <math>\hat{A}</math> or in other words operators <math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> should be selected in such a way that they generate the probabilities corresponding to the spectral decomposition of the symbolic representation <math>\hat{A}</math> of observables <math>A</math>, i.e.,<math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math>  is uniquely determined by<math>\hat{A}</math> as <math display="inline"> \hat{D}^A(x)=\hat{E}^A(x)</math>. We can say that this operator carries only information about the probabilities of outcomes, in contrast to the von Neumann scheme, operator <math>\hat{A}</math> does not encode the rule of the state update. For an atomic instrument, measurements of the observable <math>A</math> has the unique output probability distribution by the Born’s rule (16), but has many different quantum state reductions depending of the decomposition of the effect <math display="inline"> \hat{D}(x)=\hat{E}^A(x)=V(x)^*V(x)</math> in such a way that


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Gianni
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