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(Created page with "== Model == Each of the j electrodes is described by an ordered pair (<math>x_j,y_j,z_j</math>) in 3-dimensional space. To complete this analysis, the electrodes were first projected onto the (<math>x,y</math>) plane, removing the depth of the head. Figure 1A shows the locations of each electrode in this 2d-space. Following this projection, the time courses for each of the 92 electrodes were Hilbert transformed and then normalized following the procedure listed using Eq...")
 
 
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== Model ==
== Modelo ==
 
Cada uno de los electrodos j se describe mediante un par ordenado (<math>x_j,y_j,z_j</math>) en un espacio tridimensional. Para completar este análisis, primero se proyectaron los electrodos sobre el plano (<math>x,y</math>), eliminando la profundidad de la cabeza. La Figura 1A muestra las ubicaciones de cada electrodo en este espacio 2d. Siguiendo esta proyección, los cursos de tiempo para cada uno de los 92 electrodos se transformaron de Hilbert y luego se normalizaron siguiendo el procedimiento enumerado usando la ecuación (2). Se definió una probabilidad en este espacio de posición de electrodos como el cuadrado del curso de tiempo transformado de Hilbert (Ec. 3), análoga a las funciones de onda de la mecánica cuántica. A continuación, se definieron ocho regiones Anterior L/R, Posterior L/R, Parietal L/R, Occipital L/R) agrupando los 92 electrodos, y las frecuencias de entrada de cada región fG se obtuvieron sumando las probabilidades de los electrodos dentro del grupo. luego integrándose en el tiempo.


Each of the j electrodes is described by an ordered pair (<math>x_j,y_j,z_j</math>) in 3-dimensional space. To complete this analysis, the electrodes were first projected onto the (<math>x,y</math>) plane, removing the depth of the head. Figure 1A shows the locations of each electrode in this 2d-space. Following this projection, the time courses for each of the 92 electrodes were Hilbert transformed and then normalized following the procedure listed using Eq. (2). A probability was defined in this electrode-position space as the square of the Hilbert transformed time course (Eq. 3), analogous to the wavefunctions of quantum mechanics. Eight regions Anterior L/R, Posterior L/R, Parietal L/R, Occipital L/R) were then defined by grouping the 92 electrodes, and the frequencies of entering each region fG were obtained by summing the probabilities electrodes within the group, then integrating in time.


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</center>
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where each of the eight groups denoted by the subscript  have a different number of constituent electrodes N. In the occipital left and right there are 10 electrodes each, in the parietal left and right there are 17 electrodes each, in the posterior left and right there are 10 and 11 electrodes respectively, and in the anterior left and right there are 8 and 9 electrodes respectively.
donde cada uno de los ocho grupos indicados por el subíndice tiene un número diferente de electrodos constituyentes N. En el occipital izquierdo y derecho hay 10 electrodos cada uno, en el parietal izquierdo y derecho hay 17 electrodos cada uno, en el posterior izquierdo y derecho hay son 10 y 11 electrodos respectivamente, y en el anterior izquierdo y derecho hay 8 y 9 electrodos respectivamente.
 
Upon getting the group level frequencies average values for position and momentum were calculated using Eqs. (4) and (5) (with identical expressions for y). Finally, to ascertain our analogous uncertainty principle, we sought expressions of the form


<center>
Al obtener las frecuencias de nivel de grupo, los valores promedio para la posición y el impulso se calcularon utilizando las Ecs. (4) y (5) (con expresiones idénticas para y). Finalmente, para determinar nuestro principio de incertidumbre análogo, buscamos expresiones de la forma<center>
{| width="80%" |
{| width="80%" |
|-
|-
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The expression for  can be readily applied to the probabilities and positions as defined above, resulting in the first term given by
La expresión para se puede aplicar fácilmente a las probabilidades y posiciones definidas anteriormente, lo que da como resultado el primer término dado por
<center>
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{| width="80%" |
{| width="80%" |
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</center>
</center>


And the second term given by the square of Eq. (4). The second term of <math>\Delta P_x</math> is given by the square of Eq. (5), but the first term is more nuanced. This is owing to the complex number returned when acting the derivative operator twice on the probability. To overcome this, Fourier transforms were used to change Eq. (5) into the momentum basis which then allowed for the efficient calculation of <math>P_x^2(t)</math>.  
Y el segundo término dado por el cuadrado de la Ec. (4). El segundo término de <math>\Delta P_x</math> viene dado por el cuadrado de la ecuación. (5), pero el primer término tiene más matices. Esto se debe al número complejo que se devuelve al actuar el operador derivado dos veces sobre la probabilidad. Para superar esto, se usaron transformadas de Fourier para cambiar la ecuación. (5) en la base de cantidad de movimiento que luego permitió el cálculo eficiente de <math>P_x^2(t)</math>. Denotando <math>\tilde{P}_j(t)</math> como la probabilidad de espacio de cantidad de movimiento obtenida a través de una transformada de Fourier bidimensional no uniforme de la pseudofunción de onda del espacio de posición, Eq. (5) se puede reescribir como,
 
Denoting  <math>\tilde{P}_j(t)</math> as the momentum-space probability obtained through a 2-dimensional, non-uniform Fourier transform of the position space pseudo-wavefunction, Eq. (5) can be rewritten as,


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Line 49: Line 46:
|}
|}
</center>
</center>
Leading to the first term in the  expression to be written as,
Lo que lleva a que el primer término en la expresión se escriba como,


<center>
<center>
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The FINUFFT python wrapper was used to take the Fourier transform using a type 3, 2d non-uniform FFT<ref>Barnett AH, Magland J, Klinteberg LAF. A parallel nonuniform fast Fourier transform library based on an “Exponential of semicircle” kernel. SIAM J. Sci. Comput. 2019;41:C479–C504. doi: 10.1137/18M120885X. [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Barnett, A. H. Aliasing error of the  kernel in the nonuniform fast Fourier transform. arXiv:2001.09405 [math.NA] (2020).</ref>, and the minimum value in time of the uncertainty relation was found. Points in momentum space were sampled on <math>p_x\in[-4,4]</math> and  <math>p_y\in[-4,5]</math> along with the two additional points (<math>[-5,-4]</math>) and (<math>[-4,-5]</math>).  
Se utilizó el envoltorio de Python FINUFFT para tomar la transformada de Fourier utilizando una FFT<ref>Barnett AH, Magland J, Klinteberg LAF. A parallel nonuniform fast Fourier transform library based on an “Exponential of semicircle” kernel. SIAM J. Sci. Comput. 2019;41:C479–C504. doi: 10.1137/18M120885X. [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Barnett, A. H. Aliasing error of the  kernel in the nonuniform fast Fourier transform. arXiv:2001.09405 [math.NA] (2020).</ref> no uniforme 2d tipo 3, y se encontró el valor mínimo en el tiempo de la relación de incertidumbre. Los puntos en el espacio de momento fueron muestreados en <math>p_x\in[-4,4]</math> y <math>p_y\in[-4,5]</math> junto con los dos puntos adicionales (<math>[-5,-4]</math>) y (<math>[-4,-5]</math>).  


Figure 4 shows the position and momentum probabilities respectively in their own basis. An animation showing how these evolve in time for the different conditions is presented in Supplementary Material 2.
La Figura 4 muestra las probabilidades de posición y momento respectivamente en su propia base. En el Material complementario 2 se presenta una animación que muestra cómo evolucionan en el tiempo para las diferentes condiciones.




[[File:Figure 4.jpeg|center|thumb|500x500px|<small>'''Figure 4: (A''') Probability distribution for a single subject in the position basis. ('''B''') Momentum basis probability distribution for a single subject. The momentum values used for the Fourier transform are indicated by the point locations. Points are colour-/size-coded to represent the probability value at that location.</small>]]
[[File:Figure 4.jpeg|center|thumb|500x500px|<small>'''Figura 4: (A)''' Distribución de probabilidad para un solo sujeto en la base de posición. '''(B)''' Distribución de probabilidad de base de impulso para un solo sujeto. Los valores de impulso utilizados para la transformada de Fourier se indican mediante las ubicaciones de los puntos. Los puntos están codificados por color/tamaño para representar el valor de probabilidad en esa ubicación.</small>]]


To compute the values reported in Table 2, the corresponding value was found for each subject, and these were used to calculate the group average reported here.
Para calcular los valores informados en la Tabla 2, se encontró el valor correspondiente para cada sujeto, y estos se usaron para calcular el promedio del grupo informado aquí.


== Supplementary Information ==
== Información suplementaria ==


Supplementary Figures.(28M, docx)
Cifras complementarias.(28M, docx)


Supplementary Information.(375K, docx)
Información complementaria.(375K, docx)
Gianni
Editor, Editors, USER, admin, Bureaucrats, Check users, dev, editor, founder, Interface administrators, oversight, Suppressors, Administrators, translator
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