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-===== In practice =====
+===== In der Praxis =====
-These two equations are how we create our quasi-quantum mechanical analogues. The second equation is an extension of Ehrenfest’s theorem, relating the average momenta of a particle to the time derivative of its average position. Where we have assumed a Hamiltonian with only a spatially dependent potential. Note that as the positions are fixed in space (positions of the electrodes) only the probability changes in time. Throughout this paper the mass m has been taking to be unity for both the <math>x</math> and <math>y</math> momenta. Each of the 92 electrodes were projected onto the horizontal plane, thus the <math>j</math>th electrode was described by one unique <math>(x_j,y_j)</math> point.
+Mit diesen beiden Gleichungen erzeugen wir unsere quasi-quantenmechanischen Analoga. Die zweite Gleichung ist eine Erweiterung des Satzes von Ehrenfest, der die durchschnittlichen Impulse eines Teilchens mit der zeitlichen Ableitung seiner durchschnittlichen Position in Beziehung setzt. Wobei wir einen Hamiltonoperator mit nur ortsabhängigem Potential angenommen haben. Beachten Sie, dass sich nur die Wahrscheinlichkeit mit der Zeit ändert, da die Positionen im Raum fixiert sind (Positionen der Elektroden). In dieser Arbeit wurde die Masse m sowohl für die <math>x</math>- als auch für die <math>y</math>-Impulse als Eins angenommen. Jede der 92 Elektroden wurde auf die horizontale Ebene projiziert, somit wurde die <math>j</math>-te Elektrode durch einen eindeutigen <math>(x_j,y_j)</math>-Punkt beschrieben.
-We first examined this model by grouping the 92 electrodes into eight regions on the scalp: Anterior L/R, Posterior L/R, Parietal L/R, Occipital L/R and the probabilities of each electrode in the region were summed to give a region-level probability. Figure 1A shows the <math>(x_j,y_j)</math> locations of each electrode, with different colours representing each of the eight groups. Figure 1B displays the frequency of entering each region, grouped by the four task conditions and two resting conditions. This reflects the normalized count of regional probabilities integrated in time. We found that each anterior region was entered more frequently while at rest than when subjects were engaged in either movie. Specifically, the anterior left and right regions had significant within stimulus change, with <math>P<0.001</math> (Tukey adjusted) for the ''Taken Rest—Taken, Taken Rest—Taken Scrambled, BYD Rest—BYD and BYD Rest—BYD Scrambled.'' This is in line with Axelrod and colleagues’ findings which showed activation in the frontal region was associated with mind wandering<ref name=":8" /><ref name=":3" />. We found frequency suppression in posterior regions, and an increase in anterior frequency in rest compared to the stimulated conditions, consistent with fMRI studies showing increased activation in the posterior cingulate cortex, and the medial prefrontal cortex during rest <ref name=":2" /><ref name=":3" /><ref name=":4">Wang RWY, Chang WL, Chuang SW, Liu IN. Posterior cingulate cortex can be a regulatory modulator of the default mode network in task-negative state. Sci. Rep. 2019;9:1–12. [PMC free article][PubMed] [Google Scholar]</ref><ref>Uddin LQ, Kelly AMC, Biswal BB, Castellanos FX, Milham MP. Functional connectivity of default mode network components: Correlation, anticorrelation, and causality. Hum. Brain Mapp. 2009;30:625–637. doi: 10.1002/hbm.20531. [PMC free article][PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Stawarczyk D, Majerus S, Maquet P, D’Argembeau A. Neural correlates of ongoing conscious experience: Both task-unrelatedness and stimulus-independence are related to default network activity. PLoS One. 2011;6:e16997. doi: 10.1371/journal.pone.0016997.[PMC free article] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref name=":5">Greicius, M. D., Krasnow, B., Reiss, A. L., Menon, V. & Raichle, M. E. ''Functional Connectivity in the Resting Brain: A Network Analysis of the Default Mode Hypothesis''. www.pnas.org. [PMC free article] [PubMed]</ref>. Thus, suggesting our model captures the frontal tendency associated with the brain activity while at rest.
+Wir haben dieses Modell zuerst untersucht, indem wir die 92 Elektroden in acht Regionen auf der Kopfhaut gruppiert haben: Anterior L/R, Posterior L/R, Parietal L/R, Occipital L/R und die Wahrscheinlichkeiten jeder Elektrode in der Region wurden summiert, um a zu ergeben Wahrscheinlichkeit auf Regionsebene. Abbildung 1A zeigt die<math>(x_j,y_j)</math> positionen jeder Elektrode, wobei verschiedene Farben jede der acht Gruppen darstellen. Abbildung 1B zeigt die Häufigkeit des Betretens jeder Region, gruppiert nach den vier Aufgabenbedingungen und zwei Ruhebedingungen. Dies spiegelt die normalisierte Anzahl regionaler Wahrscheinlichkeiten integriert über die Zeit wider. Wir fanden heraus, dass jede Frontzahnregion im Ruhezustand häufiger betreten wurde, als wenn die Probanden sich mit einem der beiden Filme beschäftigten. Insbesondere die vorderen linken und rechten Regionen hatten eine signifikante Veränderung innerhalb des Stimulus, mit <math>P<0.001</math> (Tukey angepasst) für Taken Rest—Taken, Taken Rest—Taken Scrambled, BYD Rest—BYD und BYD Rest—BYD Scrambled. Dies steht im Einklang mit den Ergebnissen von Axelrod und Kollegen, die zeigten, dass eine Aktivierung in der Frontalregion mit Gedankenwanderungen verbunden war.<ref name=":8" /><ref name=":3" /> Wir fanden eine Frequenzunterdrückung in den hinteren Regionen und eine Zunahme der vorderen Frequenz in Ruhe im Vergleich zu den stimulierten Bedingungen, was mit fMRT-Studien übereinstimmt, die eine erhöhte Aktivierung im hinteren cingulären Kortex und im medialen präfrontalen Kortex während der Ruhe zeigen.<ref name=":2" /><ref name=":3" /><ref name=":4">Wang RWY, Chang WL, Chuang SW, Liu IN. Posterior cingulate cortex can be a regulatory modulator of the default mode network in task-negative state. Sci. Rep. 2019;9:1–12. [PMC free article][PubMed] [Google Scholar]</ref><ref>Uddin LQ, Kelly AMC, Biswal BB, Castellanos FX, Milham MP. Functional connectivity of default mode network components: Correlation, anticorrelation, and causality. Hum. Brain Mapp. 2009;30:625–637. doi: 10.1002/hbm.20531. [PMC free article][PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Stawarczyk D, Majerus S, Maquet P, D’Argembeau A. Neural correlates of ongoing conscious experience: Both task-unrelatedness and stimulus-independence are related to default network activity. PLoS One. 2011;6:e16997. doi: 10.1371/journal.pone.0016997.[PMC free article] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref name=":5">Greicius, M. D., Krasnow, B., Reiss, A. L., Menon, V. & Raichle, M. E. ''Functional Connectivity in the Resting Brain: A Network Analysis of the Default Mode Hypothesis''. www.pnas.org. [PMC free article] [PubMed]</ref> Dies deutet darauf hin, dass unser Modell die frontale Tendenz erfasst, die mit der Gehirnaktivität im Ruhezustand verbunden ist.
-[[File:Figure 1.jpeg|thumb|<small>'''Figure 1:'''</small> <small>('''A''') Electrode locations for each of the 92 electrodes on the Electrical Geodesics Inc. headcap. Electrodes were projected onto a horizontal plane with the nose in the positive y direction. Electrodes have been colour-coded to display the constituent parts of the 8 groups for the frequency analysis, namely, occipital left (blue)/right (orange), parietal left (green)/right (red), posterior left (purple)/right (brown) and anterior left (pink)/right (grey). ('''B''') Histograms representing the frequency of entering each region ''fG'' are displayed for the six conditions tested. Significant within stimulus change is present between each of the Anterior Left and Right regions when comparing the pre-stimulus rest and the respective stimulated condition (''P'' < 0.001, Tukey adjusted.). Error bars display the 1 standard deviation confidence interval.</small>|alt=|center|500x500px]]
-===== Phase space =====
-We also explored the average-valued phase space of this system. The phase space for each subject was plotted as the average position and momentum along the <math>x</math> direction  <math>(\langle x(t)\rangle,\langle p_x(t)\rangle)</math> or as the average position and momentum along the <math>x</math> direction  <math>(\langle y(t)\rangle,\langle p_y(t)\rangle)</math>. Figure 2 shows the centroids of the phase space scatter plots for each subject with an ellipse representing the one standard deviation confidence interval. Note that values are only reported for the intact stimuli as an analysis of variance shows the scrambled and intact movies are indistinguishable in phase space (P<math>P<0.85</math>, Tukey adjusted). Figure 2A and B show the projection of the phase space centroid onto the plane spanned by  <math>x</math> and <math>p_x</math> for “''Bang! You’re Dead''” and “''Taken''” respectively, and Fig. 2C and D (<math>y,p_y</math>) plane. The average position along the <math>y</math> axis <math>(\langle y\rangle)</math> for the intact stimulus (“BYD” and “Taken”) and their scrambled forms are significantly different from the pre-stimulus rest counterparts with <math>P<0.001</math> (Tukey adjusted) whereas the task-positive and resting centroids are indistinguishable in the <math>x</math> plane (<math>P<0.05</math>, Tukey adjusted). The averages of the group are reported in Table Table11 along with their standard deviations. These values are the averaged value of the centroids (average of the within stimuli centre points in Fig. 2) for the respective position/momenta within each stimulus level. As also seen in Fig. 2C and D, there is a striking difference of one order of magnitude for  <math>\langle y\rangle</math> between the resting and task conditions, yet no marked differences in <math>x</math>,<math>\langle p_x\rangle</math> , or <math>\langle p_y\rangle</math>.
+[[File:Figure 1.jpeg|thumb|'''Abbildung 1: (A)''' Elektrodenpositionen für jede der 92 Elektroden auf der Kopfkappe von Electrical Geodesics Inc. Elektroden wurden auf eine horizontale Ebene mit der Nase in positiver y-Richtung projiziert. Die Elektroden wurden farbcodiert, um die Bestandteile der 8 Gruppen für die Frequenzanalyse anzuzeigen, nämlich okzipital links (blau)/rechts (orange), parietal links (grün)/rechts (rot), posterior links (lila)/ rechts (braun) und anterior links (rosa)/rechts (grau). '''(B)''' Histogramme, die die Häufigkeit des Betretens jeder Region fG darstellen, werden für die sechs getesteten Bedingungen angezeigt. Beim Vergleich der Ruhe vor dem Stimulus und der jeweiligen stimulierten Bedingung ist eine signifikante Änderung innerhalb des Stimulus zwischen jeder der vorderen linken und rechten Regionen vorhanden (P < 0,001, Tukey-korrigiert.). Fehlerbalken zeigen das 1-Standardabweichungs-Konfidenzintervall an.|alt=|center|500x500px]]
-[[File:Figure 2.jpeg|thumb|<small>'''Figure 2:''' Mean phase space centroids for each subject. Ellipses represent the 1 standard deviation confidence interval. Centroids for the scrambled stimuli were omitted as they are indistinguishable from intact stimuli (''P'' > 0.85) ('''A''') Centroids for ''“Bang! You’re Dead”'' along the x direction. ('''B''') Centroids for ''“Taken”'' along the x direction. ('''C''') Centroids for ''“Bang! You’re Dead”'' along the y direction. ('''D''') Centroids for ''“Taken”'' along the y direction. Differences are only apparent in the y direction (''P'' < 0.001, Tukey adjusted) indicative of the higher level of anterior activation as noted in Fig. 1.</small>|alt=|center|500x500px]]
+===== Phasenraum =====
+Wir haben auch den mittelwertigen Phasenraum dieses Systems untersucht. Der Phasenraum für jedes Subjekt wurde als durchschnittliche Position und Impuls entlang der aufgetragen <math>(\langle x(t)\rangle,\langle p_x(t)\rangle)</math>Richtung<math>(\langle x(t)\rangle,\langle p_x(t)\rangle)</math>oder als durchschnittliche Position und Impuls entlang der <math>x</math> Richtung<math>(\langle y(t)\rangle,\langle p_y(t)\rangle)</math>. Abbildung 2 zeigt die Schwerpunkte der Phasenraum-Streudiagramme für jedes Subjekt mit einer Ellipse, die das Konfidenzintervall einer Standardabweichung darstellt. Beachten Sie, dass Werte nur für die intakten Stimuli angegeben werden, da eine Varianzanalyse zeigt, dass die verschlüsselten und intakten Filme im Phasenraum nicht zu unterscheiden sind (<math>P<0.85</math>, Tukey angepasst). Abbildung 2A und B zeigen die Projektion des Phasenraumschwerpunktes auf die aufgespannte Ebene <math>x</math> Und <math>p_x</math> für „Pang! You’re Dead“ bzw. „Taken“ und Abb. 2C und D (<math>y,p_y</math>) Ebene. Die durchschnittliche Position entlang der <math>y</math> Achse <math>(\langle y\rangle)</math>denn der intakte Stimulus („BYD“ und „Taken“) und ihre verschlüsselten Formen unterscheiden sich signifikant von den Gegenstücken mit Ruhe vor dem Stimulus <math>P<0.001</math> (Tukey angepasst), während die aufgabenpositiven und ruhenden Schwerpunkte in der nicht unterscheidbar sind <math>x</math> Ebene (<math>P<0.05</math>, Tukey angepasst). Die Mittelwerte der Gruppe sind in Tabelle 11 zusammen mit ihren Standardabweichungen angegeben. Diese Werte sind der gemittelte Wert der Schwerpunkte (Mittelwert der innerhalb der Stimulus-Mittelpunkte in Abb. 2) für die jeweilige Position/Impulse innerhalb jeder Stimulus-Ebene. Wie auch in Fig. 2C und D zu sehen ist, gibt es einen bemerkenswerten Unterschied von einer Größenordnung für<math>\langle y\rangle</math>zwischen den Ruhe- und Aufgabenbedingungen, jedoch keine deutlichen Unterschiede in <math>x</math>, <math>\langle p_x\rangle</math> order <math>\langle p_y\rangle</math>
+[[File:Figure 2.jpeg|thumb|<small>'''Abbildung 2:''' Mittlere Phasenraumschwerpunkte für jedes Subjekt. Ellipsen repräsentieren das 1-Standardabweichungs-Konfidenzintervall. Zentroide für die verschlüsselten Stimuli wurden weggelassen, da sie von intakten Stimuli nicht zu unterscheiden sind (P > 0,85) '''(A)''' Zentroide für „Bang! Du bist tot“ entlang der x-Richtung. '''(B)''' Schwerpunkte für „genommen“ entlang der x-Richtung. '''(C)''' Schwerpunkte für „Bang! Du bist tot“ entlang der y-Richtung. '''(D)''' Schwerpunkte für „genommen“ entlang der y-Richtung. Unterschiede sind nur in der y-Richtung erkennbar (P < 0,001, Tukey-korrigiert), was auf das höhere Maß an anteriorer Aktivierung hinweist, wie in Abb. 1 angegeben.</small>|alt=|center|500x500px]]