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(Created page with "== Model == Each of the j electrodes is described by an ordered pair (<math>x_j,y_j,z_j</math>) in 3-dimensional space. To complete this analysis, the electrodes were first projected onto the (<math>x,y</math>) plane, removing the depth of the head. Figure 1A shows the locations of each electrode in this 2d-space. Following this projection, the time courses for each of the 92 electrodes were Hilbert transformed and then normalized following the procedure listed using Eq...")
 
 
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== Model ==
== Modèle ==


Each of the j electrodes is described by an ordered pair (<math>x_j,y_j,z_j</math>) in 3-dimensional space. To complete this analysis, the electrodes were first projected onto the (<math>x,y</math>) plane, removing the depth of the head. Figure 1A shows the locations of each electrode in this 2d-space. Following this projection, the time courses for each of the 92 electrodes were Hilbert transformed and then normalized following the procedure listed using Eq. (2). A probability was defined in this electrode-position space as the square of the Hilbert transformed time course (Eq. 3), analogous to the wavefunctions of quantum mechanics. Eight regions Anterior L/R, Posterior L/R, Parietal L/R, Occipital L/R) were then defined by grouping the 92 electrodes, and the frequencies of entering each region fG were obtained by summing the probabilities electrodes within the group, then integrating in time.
Chacune des j électrodes est décrite par un couple ordonné (<math>x_j,y_j,z_j</math>) dans un espace tridimensionnel. Pour compléter cette analyse, les électrodes ont d'abord été projetées sur le plan (<math>x,y</math>) en supprimant la profondeur de la tête. La figure 1A montre les emplacements de chaque électrode dans cet espace 2d. Suite à cette projection, les cours du temps pour chacune des 92 électrodes ont été transformés de Hilbert puis normalisés en suivant la procédure indiquée à l'aide de l'Eq. (2). Une probabilité a été définie dans cet espace de position d'électrode comme le carré de l'évolution temporelle de la transformée de Hilbert (Eq. 3), analogue aux fonctions d'onde de la mécanique quantique. Huit régions Antérieure G/D, Postérieure G/D, Pariétale G/D, Occipitale G/D) ont ensuite été définies en regroupant les 92 électrodes, et les fréquences d'entrée dans chaque région fG ont été obtenues en sommant les probabilités des électrodes au sein du groupe, puis intégration dans le temps.


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where each of the eight groups denoted by the subscript  have a different number of constituent electrodes N. In the occipital left and right there are 10 electrodes each, in the parietal left and right there are 17 electrodes each, in the posterior left and right there are 10 and 11 electrodes respectively, and in the anterior left and right there are 8 and 9 electrodes respectively.
où chacun des huit groupes désignés par l'indice a un nombre différent d'électrodes constitutives N. Dans l'occipital gauche et droit il y a 10 électrodes chacun, dans le pariétal gauche et droit il y a 17 électrodes chacun, dans la partie postérieure gauche et droite il y a sont respectivement 10 et 11 électrodes, et dans les parties antérieures gauche et droite, il y a respectivement 8 et 9 électrodes.


Upon getting the group level frequencies average values for position and momentum were calculated using Eqs. (4) and (5) (with identical expressions for y). Finally, to ascertain our analogous uncertainty principle, we sought expressions of the form
Après avoir obtenu les fréquences de niveau de groupe, les valeurs moyennes pour la position et l'élan ont été calculées à l'aide des équations. (4) et (5) (avec des expressions identiques pour y). Enfin, pour vérifier notre principe d'incertitude analogue, nous avons cherché des expressions de la forme<center>
 
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{| width="80%" |
|-
|-
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L'expression pour peut être facilement appliquée aux probabilités et positions telles que définies ci-dessus, résultant en le premier terme donné par
The expression for  can be readily applied to the probabilities and positions as defined above, resulting in the first term given by
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{| width="80%" |
{| width="80%" |
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And the second term given by the square of Eq. (4). The second term of <math>\Delta P_x</math> is given by the square of Eq. (5), but the first term is more nuanced. This is owing to the complex number returned when acting the derivative operator twice on the probability. To overcome this, Fourier transforms were used to change Eq. (5) into the momentum basis which then allowed for the efficient calculation of <math>P_x^2(t)</math>.  
Et le second terme donné par le carré de l'Eq. (4). Le second terme de <math>\Delta P_x</math> est donné par le carré de l'Eq. (5), mais le premier terme est plus nuancé. Cela est dû au nombre complexe renvoyé en agissant deux fois sur l'opérateur dérivé sur la probabilité. Pour surmonter cela, des transformées de Fourier ont été utilisées pour modifier l'équation. (5) dans la base de quantité de mouvement qui a ensuite permis le calcul efficace de <math>P_x^2(t)</math>.  


Denoting  <math>\tilde{P}_j(t)</math> as the momentum-space probability obtained through a 2-dimensional, non-uniform Fourier transform of the position space pseudo-wavefunction, Eq. (5) can be rewritten as,
En désignant <math>\tilde{P}_j(t)</math> comme la probabilité impulsion-espace obtenue par une transformée de Fourier bidimensionnelle non uniforme de la pseudo-fonction d'onde de l'espace de position, Eq. (5) peut être réécrit comme,<center>
 
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{| width="80%" |
{| width="80%" |
|-
|-
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|}
|}
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Leading to the first term in the  expression to be written as,
Conduisant au premier terme de l'expression à écrire comme,


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The FINUFFT python wrapper was used to take the Fourier transform using a type 3, 2d non-uniform FFT<ref>Barnett AH, Magland J, Klinteberg LAF. A parallel nonuniform fast Fourier transform library based on an “Exponential of semicircle” kernel. SIAM J. Sci. Comput. 2019;41:C479–C504. doi: 10.1137/18M120885X. [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Barnett, A. H. Aliasing error of the  kernel in the nonuniform fast Fourier transform. arXiv:2001.09405 [math.NA] (2020).</ref>, and the minimum value in time of the uncertainty relation was found. Points in momentum space were sampled on <math>p_x\in[-4,4]</math> and  <math>p_y\in[-4,5]</math> along with the two additional points (<math>[-5,-4]</math>) and (<math>[-4,-5]</math>).  
Le wrapper python FINUFFT a été utilisé pour prendre la transformée de Fourier en utilisant une FFT<ref>Barnett AH, Magland J, Klinteberg LAF. A parallel nonuniform fast Fourier transform library based on an “Exponential of semicircle” kernel. SIAM J. Sci. Comput. 2019;41:C479–C504. doi: 10.1137/18M120885X. [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Barnett, A. H. Aliasing error of the  kernel in the nonuniform fast Fourier transform. arXiv:2001.09405 [math.NA] (2020).</ref> non uniforme de type 3, 2d, et la valeur minimale dans le temps de la relation d'incertitude a été trouvée. Des points dans l'espace d'impulsion ont été échantillonnés sur <math>p_x\in[-4,4]</math> et <math>p_y\in[-4,5]</math> avec les deux points supplémentaires (<math>[-5,-4]</math>) et (<math>[-4,-5]</math>). La figure 4 montre les probabilités de position et d'impulsion respectivement dans leur propre base. Matériel supplémentaire 2.  


Figure 4 shows the position and momentum probabilities respectively in their own basis. An animation showing how these evolve in time for the different conditions is presented in Supplementary Material 2.




[[File:Figure 4.jpeg|center|thumb|500x500px|<small>'''Figure 4: (A''') Probability distribution for a single subject in the position basis. ('''B''') Momentum basis probability distribution for a single subject. The momentum values used for the Fourier transform are indicated by the point locations. Points are colour-/size-coded to represent the probability value at that location.</small>]]
[[File:Figure 4.jpeg|center|thumb|500x500px|<small>'''Figure 4:''' '''(A)''' Distribution de probabilité pour un seul sujet dans la base de position. '''(B)''' Distribution de probabilité de base de l'élan pour un seul sujet. Les valeurs de quantité de mouvement utilisées pour la transformée de Fourier sont indiquées par les emplacements des points. Les points sont codés par couleur/taille pour représenter la valeur de probabilité à cet emplacement.</small>]]


To compute the values reported in Table 2, the corresponding value was found for each subject, and these were used to calculate the group average reported here.
Pour calculer les valeurs rapportées dans le tableau 2, la valeur correspondante a été trouvée pour chaque sujet, et celles-ci ont été utilisées pour calculer la moyenne du groupe rapportée ici.


== Supplementary Information ==
== Information supplémentaire ==


Supplementary Figures.(28M, docx)
Figures supplémentaires.(28M, docx)


Supplementary Information.(375K, docx)
Informations supplémentaires.(375K, docx)
Gianni
Editor, Editors, USER, admin, Bureaucrats, Check users, dev, editor, founder, Interface administrators, oversight, Suppressors, Administrators, translator
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