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-==Fuzzy set <math>\tilde{A}</math> and membership function <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math>==
+==Fuzzy-Set <math>\tilde{A}</math> und Zugehörigkeitsfunktion <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math>==
-We choose - as a formalism - to represent a fuzzy set with the 'tilde':<math>\tilde{A}</math>. A fuzzy set is a set where the elements have a 'degree' of belonging (consistent with fuzzy logic): some can be included in the set at 100%, others in lower percentages.
+Wir wählen – als Formalismus – die Darstellung einer Fuzzy-Menge mit der „Tilde“: <math>\tilde{A}</math>. Eine Fuzzy-Menge ist eine Menge, bei der die Elemente einen „Grad“ der Zugehörigkeit haben (in Übereinstimmung mit der Fuzzy-Logik): einige können in die Menge aufgenommen werden bei 100 %, andere in niedrigeren Prozentsätzen.
-To mathematically represent this degree of belonging is the function <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> called ''''Membership Function''''. The function <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> is a continuous function defined in the interval <math>[0;1]</math>where it is:
+Um diesen Grad der Zugehörigkeit mathematisch darzustellen, gibt es die Funktion <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math>, die „'''Mitgliedschaftsfunktion'''“ genannt wird. Die Funktion <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> ist eine kontinuierliche Funktion, die im Intervall <math>[0;1]</math> definiert ist, wo sie ist:
+*<math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1\rightarrow </math> wenn <math>x</math> vollständig in <math>A</math> enthalten ist (diese Punkte werden "'''Kern'''" genannt, sie zeigen <u>plausible</u> Prädikatswerte an).
+*<math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 0\rightarrow </math>wenn <math>x</math> nicht enthalten ist <math>A</math>
+*<math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1 \;\rightarrow </math> wenn <math>x</math> teilweise in <math>A</math> enthalten ist (diese Punkte werden 'Unterstützung' genannt, sie geben die möglichen Prädikatswerte an).
+*if <math>x</math> is partially contained in <math>A</math> (these points are called ''''support'''<nowiki/>', they indicate the <u>possible</u> predicate values).
-*<math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1\rightarrow </math> if <math>x</math> is totally contained in <math>A</math> (these points are called 'nucleus', they indicate <u>plausible</u> predicate values).
+Die grafische Darstellung der Funktion <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> kann variiert werden; von solchen mit linearen Linien (dreieckig, trapezförmig) bis hin zu solchen in Form von Glocken oder „S“ (sigmoidal), wie in Abbildung 1 dargestellt, die das gesamte grafische Konzept der Zugehörigkeitsfunktion enthält<ref>{{Cite book
-*<math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 0\rightarrow </math> if <math>x</math> is not contained in <math>A</math>
-*<math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1 \;\rightarrow </math> if <math>x</math> is partially contained in <math>A</math> (these points are called 'support', they indicate the <u>possible</u> predicate values).
-The graphical representation of the function <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> can be varied; from those with linear lines (triangular, trapezoidal) to those in the shape of bells or 'S' (sigmoidal) as depicted in Figure 1, which contains the whole graphic concept of the function of belonging.<ref>{{Cite book
   | autore = Zhang W
   | autore2 = Yang J
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   | OCLC =
   }}</ref>
-[[File:Fuzzy_crisp.svg|alt=|left|thumb|400px|'''Figure 1:''' Types of graphs for the membership function.]]
+[[File:Fuzzy_crisp.svg|alt=|left|thumb|400px|'''Abbildung 1:''' Arten von Graphen für die Zugehörigkeitsfunktion.]]
+Die '''Unterstützungsmenge''' einer Fuzzy-Menge ist definiert als die Zone, in der der Zugehörigkeitsgrad <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> ergibt; Andererseits wird der Kern als der Bereich definiert, in dem der Grad der Zugehörigkeit den Wert <math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1</math> annimmt.
-The '''support set''' of a fuzzy set is defined as the zone in which the degree of membership results <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math>; <!--131-->on the other hand, the '''core''' is defined as the area in which the degree of belonging assumes value <math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1</math>
-The 'Support set' represents the values of the predicate deemed '''possible''', while the 'core' represents those deemed more '''plausible'''.
+Die „Unterstützungsmenge“ stellt die für möglich erachteten Werte des Prädikats dar, während der „'''Kern'''“ die für plausibler erachteten Werte darstellt.
-If <math>{A}</math> <!--134-->represented a set in the ordinary sense of the term or classical language logic previously described, its membership function could assume only the values <math>1</math> <!--135-->or <math>0</math>, <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 \; \lor \;\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0</math> <!--136-->depending on whether the element <math>x</math> <!--137-->belongs to the whole or not, as considered. <!--138-->Figure 2 shows a graphic representation of the crisp (rigidly defined) or fuzzy concept of membership, which clearly recalls Smuts's considerations.<ref name=":0">•SMUTS J.C. 1926, [[wikipedia:Holism_and_Evolution|<!--139-->Holism and Evolution]], London: Macmillan.</ref>
+Wenn <math>{A}</math> eine Menge im gewöhnlichen Sinne des oben beschriebenen Begriffs oder der klassischen Sprachlogik darstellen würde, könnte ihre Zugehörigkeitsfunktion nur die Werte <math>1</math> oder <math>0</math> annehmen, <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 \; \lor \;\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0</math> je nachdem, ob das Element <math>x</math> zum betrachteten Ganzen gehört oder nicht. Abbildung 2 zeigt eine grafische Darstellung des klaren (starr definierten) oder unscharfen Konzepts der Mitgliedschaft, das deutlich an die Überlegungen von Smuts erinnert.<ref name=":0">•SMUTS J.C. 1926, [[wikipedia:Holism_and_Evolution|<!--139-->Holism and Evolution]], London: Macmillan.</ref>
-Let us go back to the specific case of our Mary Poppins, in which we see a discrepancy between the assertions of the dentist and the neurologist and we look for a comparison between classical logic and fuzzy logic:
+Gehen wir zurück zum konkreten Fall unserer Mary Poppins, in der wir eine Diskrepanz zwischen den Behauptungen des Zahnarztes und des Neurologen sehen und wir suchen einen Vergleich zwischen klassischer Logik und Fuzzy-Logik:
-[[File:Fuzzy1.jpg|thumb|400x400px|'''<!--141-->Figure 2:''' <!--142-->Representation of the comparison between a classical and fuzzy ensemble.]]
+[[File:Fuzzy1.jpg|thumb|400x400px|'''Abbildung 2:''' Darstellung des Vergleichs zwischen einem klassischen und einem Fuzzy-Ensemble.]]
-'''Figure 2:''' Let us imagine the Science Universe <math>U</math> <!--145-->in which there are two parallel worlds or contexts, <math>{A}</math> <!--146-->and <math>\tilde{A}</math>.
+Abbildung 2: Stellen wir uns das Wissenschaftsuniversum <math>U</math> vor, in dem es zwei parallele Welten oder Kontexte gibt, <math>{A}</math> und <math>\tilde{A}</math>
-<math>{A}=</math>  In the scientific context, the so-called ‘crisp’, and we have converted into ''the logic'' of ''Classic Language'', in which the physician has an absolute scientific background information <math>KB</math>  <!--148-->with a clear dividing line that we have named <math>KB_c</math>.
+<math>{A}=</math> Im wissenschaftlichen Kontext das sogenannte „Crisp“, und wir haben in die Logik der klassischen Sprache überführt, in der der Arzt eine absolute wissenschaftliche Hintergrundinformation <math>KB</math> mit einer klaren Trennlinie hat, die wir <math>KB_c</math> genannt haben
-<math>\tilde{A}=</math> In another scientific context called  ‘fuzzy logic’, and in which there is a union between the subset <math>{A}</math> <!--150-->in <math>\tilde{A}</math> <!--151-->that we can go so far as to say: union between <math>KB_c</math>.
+<math>\tilde{A}=</math> In einem anderen wissenschaftlichen Kontext, der „Fuzzy-Logik“ genannt wird und in dem es eine Vereinigung zwischen der Teilmenge <math>{A}</math> in <math>\tilde{A}</math> gibt, die wir so weit gehen können zu sagen: Vereinigung zwischen <math>KB_c</math>.
-We will remarkably notice the following deductions:
+Wir werden die folgenden Abzüge bemerkenswert bemerken:
-*'''Classical Logic''' in the Dental Context <math>{A}</math> in which only a logical process that gives as results <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 </math> will be possible, or <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> being the range of data <math>D=\{\delta_1,\dots,\delta_4\}</math> reduced to basic knowledge <math>KB</math> in the set <math>{A}</math>. This means that outside the dental world there is a void and that term of set theory is written precisely <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> and which is synonymous with a high range of:
+*'''Klassische Logik''' im zahnmedizinischen Kontext <math>{A}</math>, in der nur ein logischer Prozess möglich ist, der als Ergebnis <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 </math> liefert, oder <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> ist der Datenbereich <math>D=\{\delta_1,\dots,\delta_4\}</math>, reduziert auf Grundwissen <math>KB</math> in der Menge <math>{A}</math>. Das bedeutet, dass es außerhalb der zahnmedizinischen Welt eine gibt void und dass der Begriff der Mengenlehre genau <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> geschrieben wird und was gleichbedeutend ist mit einem hohen Bereich von:
-{{q2|Differential diagnostic error|}}
+{{q2|Differentialdiagnosefehler|}}
-*'''Fuzzy logic''' in a dental context <math>\tilde{A}</math> in which they are represented beyond the basic knowledge <math>KB</math> of the dental context also those partially acquired from the neurophysiological world <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> will have the prerogative to return a result <math>\mu_\tilde{A}(x)= 1
+*'''Fuzzy-Logik''' im zahnmedizinischen Kontext <math>\tilde{A}</math>, in der sie über das Grundwissen <math>KB</math> hinaus repräsentiert werden des zahnmedizinischen Kontexts haben auch diejenigen, die teilweise aus der neurophysiologischen Welt <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> erworben wurden, das Vorrecht, ein Ergebnis <math>\mu_\tilde{A}(x)= 1
-  </math> and a result <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> because of basic knowledge <math>KB</math> which at this point is represented by the union of <math>KB_c</math> dental and neurological contexts. The result of this scientific-clinical implementation of dentistry would allow a {{q2|Reduction of differential diagnostic error|}}
+  </math> und ein Ergebnis <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> aufgrund von Grundwissen <math>KB</math> zurückzugeben was an dieser Stelle durch die Vereinigung von <math>KB_c</math> dentalen und neurologischen Kontexten repräsentiert wird. Das Ergebnis dieser wissenschaftlich-klinischen Umsetzung der Zahnheilkunde würde a {{q2|Reduzierung des differenzialdiagnostischen Fehlers|}}