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== Modello ==

Ciascuno degli elettrodi <math>j</math> è descritto da una coppia ordinata <math>x_j,y_j,z_j</math> nello spazio tridimensionale. Per completare questa analisi, gli elettrodi sono stati prima proiettati sul piano <math>x,y</math>, rimuovendo la profondità della testa. La figura 1A mostra le posizioni di ciascun elettrodo in questo spazio <math>2D</math>. A seguito di questa proiezione, gli andamenti temporali per ciascuno dei 92 elettrodi sono stati trasformate di Hilbert e quindi normalizzati secondo la procedura elencata utilizzando l'Eq. (2). Una probabilità è stata definita in questo spazio di posizione degli elettrodi come il quadrato dell'andamento temporale della trasformata di Hilbert (Eq. 3), analogo alle funzioni d'onda della meccanica quantistica. Otto regioni (L/R anteriore, L/R posteriore, L/R parietale, L/R occipitale) sono state quindi definite raggruppando i 92 elettrodi e le frequenze di ingresso in ciascuna regione fG sono state ottenute sommando le probabilità degli elettrodi all'interno del gruppo, poi integrandosi nel tempo.

 

Dopo aver ottenuto le frequenze a livello di gruppo, i valori medi per posizione e quantità di moto sono stati calcolati utilizzando le equazioni. (4) e (5) (con espressioni identiche per <math>y</math>). Infine, per accertare il nostro analogo principio di indeterminazione, abbiamo cercato espressioni della forma

L'espressione for può essere prontamente applicata alle probabilità e posizioni come sopra definite, risultando nel primo termine dato da

E il secondo termine dato dal quadrato dell'Eq. (4). Il secondo termine di <math>\Delta P_x</math> è dato dal quadrato dell'Eq. (5), ma il primo termine è più sfumato. Ciò è dovuto al numero complesso restituito quando si agisce due volte sull'operatore derivato sulla probabilità. Per ovviare a questo, le trasformate di Fourier sono state utilizzate per cambiare l'Eq. (5) nella base della quantità di moto che ha quindi consentito il calcolo efficiente di <math>P_x^2(t)</math>.  

 

Indicando <math>\tilde{P}_j(t)</math> come la probabilità dello spazio di moto ottenuta attraverso una trasformata di Fourier bidimensionale e non uniforme della pseudo-funzione d'onda dello spazio delle posizioni, l'Eq. (5) può essere riscritto come,  

Portando al primo termine nell'espressione da scrivere come,

Il wrapper Python FINUFFT è stato utilizzato per prendere la trasformata di Fourier utilizzando un tipo 3, 2d FFT non uniforme,<ref>Barnett AH, Magland J, Klinteberg LAF. A parallel nonuniform fast Fourier transform library based on an “Exponential of semicircle” kernel. SIAM J. Sci. Comput. 2019;41:C479–C504. doi: 10.1137/18M120885X. [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Barnett, A. H. Aliasing error of the  kernel in the nonuniform fast Fourier transform. arXiv:2001.09405 [math.NA] (2020).</ref> ed è stato trovato il valore minimo nel tempo della relazione di incertezza. I punti nello spazio della quantità di moto sono stati campionati su <math>p_x\in[-4,4]</math> e <math>p_y\in[-4,5]</math> insieme ai due punti aggiuntivi (<math>[-5,-4]</math>) e (<math>[-4,-5]</math>)  

La figura 4 mostra rispettivamente le probabilità di posizione e quantità di moto nella loro base. Un'animazione che mostra come questi si evolvono nel tempo per le diverse condizioni è presentata nel materiale supplementare 2.

Per calcolare i valori riportati nella tabella 2, è stato trovato il valore corrispondente per ciascun soggetto e questi sono stati utilizzati per calcolare la media di gruppo qui riportata.