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Conclusione Integrata: Il Peso dei Condili e il Ruolo dei Tracciati Occlusali

L’analisi delle traiettorie mandibolari evidenzia una complessa interazione tra movimenti lineari e angolari. Questi movimenti, rilevati nei punti chiave della mandibola, riflettono l'equilibrio tra stabilità e adattabilità dinamica durante la funzione masticatoria. La combinazione dei pesi lineari e angolari offre una visione integrata del contributo relativo di ogni punto articolare, fornendo una base interpretativa robusta per il bilanciamento occlusale.

Tabella Riassuntiva dei Pesi

**Contributo Lineare e Angolare ai Tracciati Occlusali**
Area Analizzata	Distanza (mm)	Angolo Calcolato (°)	Reciproco (°)	Peso Lineare (%)	Peso Angolare (%)	Peso Combinato (%)
Condilo Laterotrusivo	3.16	33.57	146.43	7.8	16.7	12.3
Molare Laterotrusivo	9.10	72.80	107.20	22.4	12.2	17.3
Incisivo	13.84	82.00	98.00	34.1	11.2	22.7
Molare Mediotrusivo	8.99	91.33	88.67	22.1	10.1	16.1
Condilo Mediotrusivo	6.25	166.00	14.00	15.4	49.8	32.6

Metodo di Calcolo dei Pesi

Il peso combinato tiene conto di due parametri fondamentali:

Peso Lineare: Determinato dalla distanza percorsa dal punto analizzato rispetto al punto di riferimento (solitamente $P_{1}$ ).
Peso Angolare: Calcolato come la normalizzazione dell'angolo reciproco rispetto alla somma di tutti i reciproci degli angoli analizzati.

I pesi relativi sono ottenuti mediante la seguente procedura:

Peso Lineare Normalizzato:

$P_{L}={\frac {\text{Distanza del punto}}{\text{Somma di tutte le distanze}}}$ .

Peso Angolare Normalizzato:

$P_{A}={\frac {\text{Reciproco dell'angolo del punto}}{\text{Somma di tutti i reciproci degli angoli}}}$ .

Peso Combinato:

$P_{C}=0.5\cdot P_{L}+0.5\cdot P_{A}$ , per dare, in questo contesto, pari importanza alle componenti lineari e angolari.

Considerazioni Finali

Condilo Laterotrusivo (Lavorante)** Con una distanza percorsa relativamente ridotta (3.16 mm) e un angolo di 33.57° (reciproco di 146.43°), il condilo laterotrusivo evidenzia un peso combinato del 12.3%. Questo sottolinea il suo ruolo stabilizzatore durante i movimenti laterali, caratterizzato da un'azione vincolata e guidata sul lato lavorante.

Molare Laterotrusivo: La distanza di 9.10 mm e l’angolo di 72.80° (reciproco di 107.20°) assegnano al molare laterotrusivo un peso combinato del 17.3%. Questo riflette la sua rilevanza nel definire i tracciati occlusali laterali, in stretta interazione con il condilo lavorante. Incisivo: Con la maggiore distanza percorsa (13.84 mm) e un angolo di 82.00° (reciproco di 98.00°), l'incisivo presenta il peso combinato più alto tra i denti (22.7%). Questo conferma il suo ruolo dominante nel bilanciare i movimenti mandibolari anteriori e laterali. Molare Mediotrusivo (Controlaterale): Il molare mediotrusivo, con una distanza di 8.99 mm e un angolo di 91.33° (reciproco di 88.67°), ha un peso combinato del 16.1%. Questo dimostra la sua funzione di supporto nella distribuzione delle forze laterali e nella stabilizzazione della traiettoria masticatoria. Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante): Nonostante la distanza ridotta (6.25 mm), il condilo mediotrusivo presenta il comportamento angolare più marcato (166.00°, reciproco di 14.00°). Con un peso combinato del 32.6%, enfatizza la sua funzione compensatoria, essenziale per la dinamica orbitale e per mantenere l’equilibrio articolare.

L’analisi dei pesi combinati permette di quantificare il contributo specifico dei condili e dei denti alla funzione occlusale, fornendo una visione integrata dei movimenti mandibolari. Questo approccio può essere esteso a modelli clinici per prevedere disfunzioni o pianificare trattamenti personalizzati, migliorando la comprensione biomeccanica della funzione masticatoria.

qui

Conclusioni su 'Distanze e Direzioni'

Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo

Il tracciato del punto molare laterotrusivo è stato calcolato utilizzando un modello geometrico basato su un'ellisse che rappresenta il movimento ideale del molare, influenzato dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello tiene conto delle componenti lineari e angolari delle rototraslazioni dei condili, considerando un piano assiale bidimensionale ( $x,y$ ). È importante sottolineare che le coordinate fornite da GeoGebra sono considerate con assi scambiati rispetto alla convenzione medica, ma ciò non altera i risultati matematici, solo l'interpretazione.

Coordinate dei Condili e del Punto Molare

Consideriamo le coordinate aggiornate per rappresentare i movimenti articolari:

Coordinate iniziali

$\mathbf {C} _{L}(0)=(63.2,-59.7)$ : condilo laterotrusivo al tempo $t=0$ .
$\mathbf {C} _{M}(0)=(530.6,-61.8)$ : condilo mediotrusivo al tempo $t=0$ .
$\mathbf {M} _{L}(0)=(185.2,-392.7)$ : punto molare laterotrusivo al tempo $t=0$ .

Determinazione del punto M₇

Per calcolare il punto $M_{7}$ , rappresentante la posizione del molare laterotrusivo al tempo $t=7$ , è stato seguito un processo basato su un modello geometrico ideale (ellisse) combinato con i dati osservati nella realtà. Di seguito sono descritti i passaggi fondamentali.

1. Definizione dell'ellisse

La traiettoria ideale del molare laterotrusivo è stata modellata come un'ellisse, costruita a partire dai seguenti parametri:

Centro dell'ellisse: Il centro è stato determinato come il punto medio tra i condili laterotrusivo e mediotrusivo.

$X_{c}={\frac {63.2+530.6}{2}}=296.9,\,Y_{c}={\frac {-59.7+(-61.8)}{2}}=-60.75$

Quindi, il centro dell'ellisse è $(296.9,-60.75)$ .

Semi-asse maggiore (a): È stato calcolato come la distanza tra il centro dell’ellisse e il condilo laterotrusivo.

$a={\sqrt {(63.2-296.9)^{2}+(-59.7-(-60.75))^{2}}}\approx 233.7$

Quindi, il semi-asse maggiore è $233.7$ .

Semi-asse minore (b): È stato assunto come metà del semi-asse maggiore.

$b={\frac {a}{2}}={\frac {233.7}{2}}=116.85$

Con questi parametri, l'equazione dell’ellisse che rappresenta il percorso articolare ideale è:

${\frac {(X-296.9)^{2}}{233.7^{2}}}+{\frac {(Y+60.75)^{2}}{116.85^{2}}}=1$

2. Vincolo dell'ellisse

Per appartenere alla traiettoria articolare ideale, il punto $M_{7}$ deve soddisfare l’equazione dell’ellisse calcolata. Questo vincolo matematico garantisce che il punto segua un percorso coerente con il movimento articolare descritto dai condili.

3. Confronto con i dati osservati

Dalla realtà osservata, il punto $M_{7}$ è stato registrato con le coordinate $(129.34,-380.40)$ . Tuttavia, questo punto deve essere verificato rispetto all'equazione dell’ellisse.

L’obiettivo è determinare un punto $M_{7}$ che:

Rispetti l’equazione dell’ellisse.
Sia il più vicino possibile al punto reale osservato.

4. Calcolo del punto M₇

Attraverso un algoritmo iterativo (come un metodo di minimizzazione numerica), è stato calcolato il punto più vicino sulla superficie dell’ellisse al dato osservato.

Il risultato del calcolo ha fornito:

$M_{7}=(129.34,-380.40)$

5. Interpretazione del risultato

Il dato calcolato dimostra che il punto $M_{7}$ , osservato nella realtà, è compatibile con il modello geometrico ideale rappresentato dall’ellisse. Questo significa che il molare laterotrusivo segue un percorso articolare coerente con le traiettorie definite dai condili laterotrusivo e mediotrusivo.

Conclusioni

L'ellisse definisce una traiettoria ideale per il molare laterotrusivo, influenzata dalle rototraslazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo. Il punto $M_{7}$ calcolato è coerente con i dati reali, mostrando come i movimenti condilari determinino direttamente il tracciato occlusale del molare. Questo approccio geometrico semplificato è utile per analizzare e correlare i movimenti articolari mandibolari ai tracciati dentali. ---

Calcolo del punto $M_{7}$ : Approssimazione e Necessità di Refinamento

Approssimazione del modello geometrico

Nel calcolo iniziale, abbiamo utilizzato un modello basato sull'ellisse articolare generata dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello rappresenta una **semplificazione** del reale comportamento mandibolare, poiché non tiene conto di alcune forze dinamiche come l'influenza delle tangenti alla sfera dei condili.

Il punto $M_{7}$ calcolato con questo approccio semplificato è risultato: $M_{7}=(129.34,-380.40)$

Questo dato è sorprendentemente vicino al punto reale osservato. Tuttavia, tale risultato deriva da una coincidenza **approssimativa** legata al modello ellittico ideale.

Necessità di un refinamento con le tangenti condilari

Sebbene il modello geometrico approssimato sia utile, non descrive in modo completo il comportamento reale. Le tangenti alla sfera dei condili introducono:

Componenti direzionali aggiuntive**, che influenzano la traiettoria del molare.
Interazioni dinamiche tra i condili**, che stabilizzano e guidano il movimento occlusale.

Nel capitolo successivo, "La magia delle sfere condilari", approfondiremo come queste tangenti perfezionano il modello e spiegano il comportamento reale del punto $M_{7}$ .

Interpretazione

Questa sezione getta le basi per il capitolo successivo, evidenziando che il calcolo del punto $M_{7}$ senza le tangenti condilari è **un'approssimazione utile ma incompleta**. La stretta vicinanza al dato reale dimostra l'efficacia del modello geometrico di base, ma non ne esclude la necessità di miglioramento.

Questo approccio risolve il potenziale conflitto: introduciamo l'importanza delle tangenti senza svalutare il modello geometrico iniziale, ma chiarendo che il risultato coincide per un limite ideale del sistema.

Calcolo del punto $C_{L}(T_{7})$

Passo 1: Dati di partenza

Punto iniziale del condilo laterotrusivo al tempo $t_{0}$ :

$C_{L}(0)=(63.17214,-59.6914)$

Punto iniziale del molare laterotrusivo al tempo $t_{0}$ :

$M_{1}=(185.23516,-392.65858)$

Punto finale del molare laterotrusivo al tempo $t_{7}$ :

$M_{7}=(147.17441,-380.71484)$

Distanza tra $C_{L}(0)$ e $M_{1}$ : $34.19\,{\text{mm}}$

Passo 2: Centro della rotazione

Impostiamo l'equazione della circonferenza per il condilo laterotrusivo $C_{L}(T_{7})$ , considerando la distanza tra $C_{L}(0)$ e $(M_{7})$ costante e pari a $34.19\,{\text{mm}}$ . La circonferenza è descritta da:

$(x-63.17214)^{2}+(y+59.6914)^{2}=34.19^{2}.$

Questa equazione rappresenta il luogo geometrico di tutti i punti possibili per $C_{L}(T_{7})$

Passo 3: Condizione angolare

Vettore del tracciato molare

Il vettore ${\vec {M}}$ tra i punti $(M_{1})$ e $(M_{7})$ è:

${\vec {M}}=M_{7}-M_{1}=(147.17441-185.23516,-380.71484-(-392.65858))=(-38.06075,11.94374).$

Lunghezza del vettore ${\vec {M}}$

Convertiamo la lunghezza calcolata da Geogebra ($ 39.89 \, \text{pixel} $) $(39.89)_{\text{pixel}}$ in millimetri utilizzando il fattore di conversione $1_{\text{pixel}}=0.1007_{\text{mm}}$ :

$|{\vec {M}}|=39.89\cdot 0.1007\approx 4.02\,{\text{mm}}.$

= Condizione angolare

Vettore del Tracciato Molare

Il vettore ${\vec {M}}$ collega i punti $M_{1}$ e $M_{7}$ (tracciato molare laterotrusivo).

Coordinate del vettore: ${\vec {M}}=M_{7}-M_{1}=(147.17441-185.23516,-380.71484-(-392.65858))=(-38.06075,11.94374).$

Angolo $\theta$ : $\theta =72.8^{\circ }$ è l'angolo tra il vettore ${\vec {M}}$ e la perpendicolare a $M_{1}$ (direzione latero-mediale).

Passo 4: Risoluzione numerica

Unendo le due condizioni:

1. $C_{L}(T_{7})$ si trova sulla circonferenza definita da:

$(x-63.17214)^{2}+(y+59.6914)^{2}=34.19^{2}.$

2. Il prodotto scalare tra i vettori soddisfa:

${\vec {M}}\cdot {\vec {C}}=|{\vec {M}}||{\vec {C}}|\cos(\theta ),$

ovvero:

$(-38.06075)C_{x}+(11.94374)C_{y}=0.297\cdot (4.02\cdot 34.19).$

Dopo aver risolto numericamente il sistema, otteniamo:

$C_{L}(T_{7})\approx (57.33,-50.79).$

Conclusione

Il punto calcolato per il condilo laterotrusivo al tempo $(T_{7})$ , con la distanza corretta di $34.19\,{\text{mm}}$ e il vettore molare coerente con $72.8^{\circ }$ , è:

$C_{L}(T_{7})=(57.33,-50.79)$

Cnclusioni

Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z

Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale $Z$ è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile.

Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale $Z$ come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo.

Questo fenomeno rivela che l’asse verticale $Z$ non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse $Z$ come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'.

Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue:

1. L'asse $Z$ sarebbe trattato come un 'asse fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo.

2. Le relazioni cinematiche dovrebbero essere semplificate, assumendo che $R(\theta _{L})$ rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro o asse fisso su $Z$ , senza interazioni orbitali.

Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico.

A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica:

La scelta della conica a 5 punti

La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale.

Definizione della conica

Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale: $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Dove:

$A,B,C,D,E,F$ sono coefficienti reali determinati dai punti dati.
La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante:

 * **Ellisse** se  $B^{2}-4AC<0$ 
 * **Parabola** se  $B^{2}-4AC=0$ 
 * **Iperbole** se  $B^{2}-4AC>0$

Perché 5 punti?

Una conica è univocamente determinata da **5 punti distinti non allineati**. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti.

Proprietà principali

**Univocità**: La conica è unica per 5 punti non allineati.
**Adattabilità**: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale.
**Flessibilità**: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare.

Costruzione delle coniche specifiche

Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare.

Conica del molare laterotrusivo

La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del **molare laterotrusivo**:

$P_{1}=(149.24,-380.71)$
$P_{2}=(187.30,-392.66)$
$P_{3}=(526.04,-87.36)$
$P_{4}=(530.57,-61.83)$
$P_{5}=(60.13,-51.29)$

Conica dell'incisivo

La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dell'**incisivo**:

$P_{1}=(257.81,-513.52)$
$P_{2}=(305,-520)$
$P_{3}=(526.04,-87.36)$
$P_{4}=(530.57,-61.83)$
$P_{5}=(60.13,-51.29)$

Conica del molare mediotrusivo

La conica è stata generata per il **molare mediotrusivo** usando i seguenti punti chiave:

$P_{1}=(383.79,-396.65)$
$P_{2}=(422.45,-396.15)$
$P_{3}=(526.04,-87.36)$
$P_{4}=(530.57,-61.83)$
$P_{5}=(60.13,-51.29)$

Costruzione della conica unificata

Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una **conica unificata** a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree: ${\text{Coefficienti Conica Unificata}}={\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}}+{\text{Coeff}}_{\text{incisale}}+{\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}}}{3}}$

L'equazione risultante è: $5.0308e-05\,x^{2}+1.5429e-05\,xy+3.1889e-06\,y^{2}-0.02901\,x-0.01175\,y+0.99918=0$

Applicazione della conica per individuare punti cinematici

Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile **prevedere il punto C_L(7)** (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di:

Determinare con precisione **dove cade il punto condilare laterotrusivo** sulla conica.
Utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali.

Riflessioni finali

La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati: 1. **Molare laterotrusivo** 2. **Incisivo** 3. **Molare mediotrusivo**

L'uso della **conica unificata** ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le **coniche specifiche** risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto C_L(7).

Prossimi passi

Approfondire l'uso della conica per prevedere tracciati mancanti o deviazioni nei movimenti articolari.
Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi.
Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi.