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Conclusione Integrata: Il Peso dei Condili e il Ruolo dei Tracciati Occlusali

L’analisi delle traiettorie mandibolari evidenzia una complessa interazione tra movimenti lineari e angolari. Questi movimenti, rilevati nei punti chiave della mandibola, riflettono l'equilibrio tra stabilità e adattabilità dinamica durante la funzione masticatoria. La combinazione dei pesi lineari e angolari offre una visione integrata del contributo relativo di ogni punto articolare, fornendo una base interpretativa robusta per il bilanciamento occlusale.

Tabella Riassuntiva dei Pesi

**Contributo Lineare e Angolare ai Tracciati Occlusali**

Area Analizzata	Distanza (mm)	Angolo Calcolato (°)	Reciproco (°)	Peso Lineare (%)	Peso Angolare (%)	Peso Combinato (%)
Condilo Laterotrusivo	3.16	33.57	146.43	7.8	16.7	12.3
Molare Laterotrusivo	9.10	72.80	107.20	22.4	12.2	17.3
Incisivo	13.84	82.00	98.00	34.1	11.2	22.7
Molare Mediotrusivo	8.99	91.33	88.67	22.1	10.1	16.1
Condilo Mediotrusivo	6.25	166.00	14.00	15.4	49.8	32.6

Metodo di Calcolo dei Pesi

Il peso combinato tiene conto di due parametri fondamentali:

1. Peso Lineare: Determinato dalla distanza percorsa dal punto analizzato rispetto al punto di riferimento (solitamente $P_{1}$).
2. Peso Angolare: Calcolato come la normalizzazione dell'angolo reciproco rispetto alla somma di tutti i reciproci degli angoli analizzati.

I pesi relativi sono ottenuti mediante la seguente procedura:

Peso Lineare Normalizzato:

$P_{L}={\frac {\text{Distanza del punto}}{\text{Somma di tutte le distanze}}}$.

Peso Angolare Normalizzato:

$P_{A}={\frac {\text{Reciproco dell'angolo del punto}}{\text{Somma di tutti i reciproci degli angoli}}}$.

Peso Combinato:

$P_{C}=0.5\cdot P_{L}+0.5\cdot P_{A}$, per dare, in questo contesto, pari importanza alle componenti lineari e angolari.

Considerazioni Finali

Condilo Laterotrusivo (Lavorante)** Con una distanza percorsa relativamente ridotta (3.16 mm) e un angolo di 33.57° (reciproco di 146.43°), il condilo laterotrusivo evidenzia un peso combinato del 12.3%. Questo sottolinea il suo ruolo stabilizzatore durante i movimenti laterali, caratterizzato da un'azione vincolata e guidata sul lato lavorante.

Molare Laterotrusivo** La distanza di 9.10 mm e l’angolo di 72.80° (reciproco di 107.20°) assegnano al molare laterotrusivo un peso combinato del 17.3%. Questo riflette la sua rilevanza nel definire i tracciati occlusali laterali, in stretta interazione con il condilo lavorante. Incisivo** Con la maggiore distanza percorsa (13.84 mm) e un angolo di 82.00° (reciproco di 98.00°), l'incisivo presenta il peso combinato più alto tra i denti (22.7%). Questo conferma il suo ruolo dominante nel bilanciare i movimenti mandibolari anteriori e laterali.

Molare Mediotrusivo (Controlaterale)** Il molare mediotrusivo, con una distanza di 8.99 mm e un angolo di 91.33° (reciproco di 88.67°), ha un peso combinato del 16.1%. Questo dimostra la sua funzione di supporto nella distribuzione delle forze laterali e nella stabilizzazione della traiettoria masticatoria.

Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)** Nonostante la distanza ridotta (6.25 mm), il condilo mediotrusivo presenta il comportamento angolare più marcato (166.00°, reciproco di 14.00°). Con un peso combinato del 32.6%, enfatizza la sua funzione compensatoria, essenziale per la dinamica orbitale e per mantenere l’equilibrio articolare.

L’analisi dei pesi combinati permette di quantificare il contributo specifico dei condili e dei denti alla funzione occlusale, fornendo una visione integrata dei movimenti mandibolari. Questo approccio può essere esteso a modelli clinici per prevedere disfunzioni o pianificare trattamenti personalizzati, migliorando la comprensione biomeccanica della funzione masticatoria.

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Discussioni e conclusioni

Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.

Coordinate dei Condili e del Punto Molare

Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale:

• Asse $X$: orientamento antero-posteriore.
• Asse $Y$: lateralità.
• Asse $Z$: altezza.

Definiamo:

• $\mathbf {C} _{L}(0)=(0,10,0)$: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {C} _{M}(0)=(0,-10,0)$: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {M} _{L}(0)=(5,5,-5)$: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo $t=0$.

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Rotazione e Traslazione dei CondiliCondilo Laterotrusivo (Lavorante)

Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di:

• • • Rotazione laterale** con angolo $\theta _{L}$ rispetto all’asse verticale $Z$.
    • Traslazione retrusiva** lungo l'asse $X$, rappresentata da $\mathbf {d} _{L}$.

Rotaizone e traslazione dei condili

Condilo laterotrusivo (lavorante)

Se il moto è piano e la rotazione avviene attorno a un punto $\mathbf {P}$ che non coincide con l'origine, la posizione del condilo laterotrusivo al tempo $t$ è data da:

$\mathbf {C} _{L}(t)=\mathbf {R} _{Z}(\theta _{L})\cdot (\mathbf {C} _{L}(0)-\mathbf {P} )+\mathbf {P} +\mathbf {d} _{L}$

Dove:

• $\mathbf {R} _{Z}(\theta _{L})$ è la matrice di rotazione attorno all’asse $Z$, definita come:

$\mathbf {R} _{Z}(\theta _{L})={\begin{pmatrix}\cos(\theta _{L})&-\sin(\theta _{L})&0\\\sin(\theta _{L})&\cos(\theta _{L})&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

$\mathbf {P}$ è il punto attorno al quale avviene la rotazione (ad esempio l'origine)

$\mathbf {d} _{L}=(-d_{L},0,0)$ rappresenta la traslazione retrusiva lungo l'asse $X$.

Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)

Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante più complesso, che combina una rotazione con angolo $\theta _{M}$.

Se il moto è spaziale, si utilizza la 'formula di Rodrigues'. La posizione del condilo mediotrusivo al tempo $t$ è data da:

$\mathbf {C} _{M}(t)=\mathbf {R} \cdot \mathbf {C} _{M}(0)+\mathbf {d} _{M}$

Formula di Rodrigues

Se la rotazione avviene nello spazio tridimensionale attorno a un asse arbitrario, la formula di Rodrigues si applica come segue:

$\mathbf {v} _{rot}=\mathbf {v} \cos(\theta )+(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin(\theta )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos(\theta ))$

Dove:

• $\mathbf {v}$ è il vettore da ruotare.
• $\mathbf {k}$ è il versore dell’asse attorno al quale avviene la rotazione.
• $\theta$ è l’angolo di rotazione.

Applicazione

Nel nostro caso, per un moto spaziale:

• $\mathbf {k} =(0,0,1)$ per una rotazione attorno all’asse $Z$.
• $\mathbf {v} =\mathbf {C} _{M}(0)-\mathbf {P}$, con $\mathbf {P}$ punto di riferimento.
• La traslazione $\mathbf {d} _{M}$ descrive il movimento orbitante e mediale.

Conclusione

La descrizione del movimento dei condili deve essere adattata al contesto:

• Moto piano: Utilizzare la formula per rotazioni attorno a un punto non coincidente con l'origine.
• Moto spaziale: Adottare la formula di Rodrigues per rotazioni tridimensionali attorno a un asse arbitrario.

Entrambi i metodi garantiscono una rappresentazione accurata dei movimenti combinati di rotazione e traslazione.

Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo

Il tracciato del punto molare laterotrusivo è influenzato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo sia dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo è:

$\mathbf {M} _{L}(t)=\mathbf {M} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot \mathbf {M} _{L}(0)+\alpha \cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)$

dove:

• $R(\theta _{L})$ rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
• $\alpha$ e $\beta$ sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili.

Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva

Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una elemento vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:

$\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)=\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)+(-d_{L},0,-5)$

dove $\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)$ rappresenta la componente lateroretrusiva aggiornata, considerando la posizione inferiore del punto molare rispetto ai condili.

Questa versione riveduta riflette la disposizione modificata:

1. I condili sono ora allineati lungo l'asse $Y$.

2. Il punto molare laterotrusivo si trova in una posizione più bassa sull'asse $Z$, rappresentando una configurazione spaziale in sintonia con la nuova disposizione.

Estendiamo ora il formalismo matematico per includere il comportamento del punto incisale e del punto molare mediotrusivo, completando così la descrizione della dinamica tra i condili e i punti di contatto chiave della mandibola.

Tracciato del Punto Incisale

Il punto incisale segue una traiettoria influenzata dalla combinazione dei movimenti di entrambi i condili, ma il suo spostamento è principalmente una funzione del **movimento globale della mandibola**. Questo tracciato può essere modellato considerando la somma delle componenti laterali e retrusive trasmesse dai condili, con pesi che riflettono la loro influenza sul movimento anteriore della mandibola.

Definiamo il punto incisale come:

$\mathbf {I} (t)=(x_{I}(t),y_{I}(t),z_{I}(t))$

La posizione $\mathbf {I} (t)$ è data da:

$\mathbf {I} (t)=\mathbf {I} (0)+\gamma \cdot R(\theta _{L})\cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\delta \cdot R(\theta _{M})\cdot \mathbf {C} _{M}(t)$ dove:

• $\gamma$ e $\delta$ sono coefficienti che riflettono l'influenza proporzionale dei condili sul tracciato incisale,
• $R(\theta _{L})$ e $R(\theta _{M})$ rappresentano le rotazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, rispettivamente, intorno all'asse verticale $Z$.

Tracciato del Punto Molarare Mediotrusivo

Analogamente al punto molare laterotrusivo, il punto molare mediotrusivo ($\mathbf {M} _{M}$) è influenzato dai movimenti combinati dei due condili, ma con una maggiore influenza del condilo mediotrusivo. Definiamo:

$\mathbf {M} _{M}(t)=(x_{m_{M}}(t),y_{m_{M}}(t),z_{m_{M}}(t))$

Il tracciato di $\mathbf {M} _{M}(t)$ può essere modellato come:

$\mathbf {M} _{M}(t)=\mathbf {M} _{M}(0)+\beta '\cdot R(\theta _{L})\cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\alpha '\cdot R(\theta _{M})\cdot \mathbf {C} _{M}(t)$

dove:

• $\beta '$ e $\alpha '$ sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo,
• $R(\theta _{L})$ e $R(\theta _{M})$ descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo intorno all'asse $Z$.

Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive

Per completare la rappresentazione della componente lateroretrusiva sui punti incisale e molari, è essenziale considerare la risultante delle **forze vettoriali** generate dai movimenti dei condili.

Componente Lateroretrusiva del Punto Incisale

$\mathbf {I} _{\text{ret}}(t)=\delta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)+(-d_{I},0,-5)$

dove $\mathbf {I} _{\text{ret}}(t)$ rappresenta la traiettoria lateroretrusiva del punto incisale, considerando la componente di retrazione e la posizione inferiore dell'incisale rispetto ai condili sull'asse $Z$.

Cnclusioni

Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z

Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale $Z$ è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile.

Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale $Z$ come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo.

Questo fenomeno rivela che l’asse verticale $Z$ non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse $Z$ come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'.

Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue:

1. L'asse $Z$ sarebbe trattato come un 'asse fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo.

2. Le relazioni cinematiche dovrebbero essere semplificate, assumendo che $R(\theta _{L})$ rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro o asse fisso su $Z$, senza interazioni orbitali.

Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico.

A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica:

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Conclusioni su 'Distanze e Direzioni'

Condilo Laterotrusivo (Lavorante) L'analisi cinematica del condilo laterotrusivo evidenzia una traiettoria articolare risultante da una combinazione di movimenti rotatori e traslatori. La traiettoria comprende componenti antero-posteriore e latero-mediale, influenzate dall'interazione con il condilo mediotrusivo. Questo comportamento tridimensionale è essenziale per l'equilibrio funzionale mandibolare, poiché determina la traiettoria e la stabilità dei contatti occlusali durante il ciclo masticatorio. Dal punto di vista clinico, la comprensione dettagliata di queste dinamiche può aiutare a diagnosticare e trattare disfunzioni temporomandibolari (TMD) e asimmetrie mandibolari.

Molare Laterotrusivo Il molare laterotrusivo mostra spostamenti lineari di circa 9.1 mm rispetto al punto di massima intercuspidazione, con un angolo calcolato di 73.32°. Questi movimenti riflettono forze e vincoli strutturali imposti dalla morfologia condilare e dall'interazione con il condilo mediotrusivo, influenzando la traiettoria del molare durante la funzione masticatoria. Questo tipo di analisi contribuisce a una comprensione più profonda dei movimenti mandibolari e supporta valutazioni cliniche utili per pianificare interventi riabilitativi.

Incisivo Il movimento dell'incisivo lavorante mostra variazioni di spostamento lineare fino a 13.84 mm. L'angolo tra i segmenti definiti è stato calcolato pari a 85.09°, indicando una significativa mobilità laterale. Questo comportamento riflette un'ampia capacità di adattamento dei muscoli e dei tessuti circostanti per mantenere stabilità e precisione durante la funzione masticatoria. L'analisi quantitativa degli spostamenti lineari e angolari contribuisce alla diagnosi di disfunzioni articolari e alla pianificazione di trattamenti personalizzati.

Molare Mediotrusivo (Controlaterale) Il molare controlaterale evidenzia una distanza lineare di 8.99 mm e un angolo di circa 91.33°, suggerendo un movimento quasi perpendicolare rispetto ai segmenti di riferimento. Questo movimento garantisce stabilità laterale e un bilanciamento funzionale durante i movimenti masticatori laterali, contribuendo a un'efficace distribuzione delle forze sul lato mediotrusivo. L'analisi matematica di angoli e distanze supporta la diagnosi di disfunzioni articolari e fornisce una base per pianificazioni terapeutiche orientate alla stabilizzazione del sistema masticatorio.

Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante) Il condilo mediotrusivo segue una traiettoria complessa, caratterizzata da un movimento orbitante che combina spostamenti mediali e anteriori. L'angolo calcolato tra i punti analizzati è risultato pari a 13.57° (Angolo di Bennett). Questo valore riflette un adattamento dinamico durante i movimenti mandibolari laterali, con variazioni angolari che suggeriscono forze anomale o alterazioni potenzialmente indicative di disfunzioni articolari. Queste informazioni sono essenziali per individuare asimmetrie funzionali e migliorare la gestione dei disturbi temporomandibolari.

Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo

Coordinate dei Condili e del Punto Molare

Consideriamo le coordinate aggiornate per rappresentare i movimenti articolari:

• $\mathbf {C} _{L}(0)=(63.2,-59.7)$: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {C} _{M}(0)=(530.6,-61.8)$: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {M} _{L}(0)=(185.2,-392.7)$: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo $t=0$.

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Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo

Il tracciato del punto molare laterotrusivo è stato calcolato utilizzando un modello geometrico basato su un'ellisse che rappresenta il movimento ideale del molare, influenzato dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello tiene conto delle componenti lineari e angolari delle rototraslazioni dei condili, considerando un piano assiale bidimensionale ($x,y$). È importante sottolineare che le coordinate fornite da GeoGebra sono considerate con assi scambiati rispetto alla convenzione medica, ma ciò non altera i risultati matematici, solo l'interpretazione.

Coordinate iniziali

• $\mathbf {C} _{L}(0)=(63.2,-59.7)$: condilo laterotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {C} _{M}(0)=(530.6,-61.8)$: condilo mediotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {M} _{L}(0)=(185.2,-392.7)$: punto molare laterotrusivo al tempo $t=0$.

Modello geometrico basato sull'ellisse

Per rappresentare la traiettoria del punto molare, è stata costruita un'ellisse con:

• • • Centro**: punto medio tra i condili laterotrusivo e mediotrusivo:

${\text{Centro}}=\left({\frac {63.2+530.6}{2}},{\frac {-59.7+-61.8}{2}}\right)=(296.9,-60.75)$

• **Semi-asse maggiore ($a$)**: distanza dal centro al condilo laterotrusivo ($C_{L}$):

$a={\sqrt {(296.9-63.2)^{2}+(-60.75--59.7)^{2}}}\approx 233.7.$

• • • Semi-asse minore ($b$)**: assunto pari a metà del semi-asse maggiore:

$b={\frac {a}{2}}\approx 116.85$

L'equazione dell'ellisse è quindi: ${\frac {(X-296.9)^{2}}{233.7^{2}}}+{\frac {(Y+60.75)^{2}}{116.85^{2}}}=1$

Determinazione del punto $M_{7}$

Il punto $M_{7}$, rappresentante la posizione del molare laterotrusivo al tempo $t=7$, deve soddisfare due condizioni: 1. Trovarsi sull'ellisse, rispettando l'equazione: ${\frac {(X-296.9)^{2}}{233.7^{2}}}+{\frac {(Y+60.75)^{2}}{116.85^{2}}}=1$ 2. Essere il più vicino possibile al punto reale osservato: $M_{7}\approx (129.34,-380.40).$

Attraverso un algoritmo iterativo, il punto $M_{7}$ è stato calcolato come: $M_{7}=(129.34,-380.40).$

Conclusioni

L'ellisse definisce una traiettoria ideale per il molare laterotrusivo, influenzata dalle rototraslazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo. Il punto $M_{7}$ calcolato è coerente con i dati reali, mostrando come i movimenti condilari determinino direttamente il tracciato occlusale del molare. Questo approccio geometrico semplificato è utile per analizzare e correlare i movimenti articolari mandibolari ai tracciati dentali.