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4. Instrumentos cuánticos del esquema de medidas indirectas.

El modelo básico para la construcción de instrumentos cuánticos se basa en el esquema de medidas indirectas. Este esquema formaliza la siguiente situación: los resultados de la medición se generan a través de la interacción de un sistema $S$ con un aparato de medida $M$ .Este aparato consiste en un dispositivo físico complejo que interactúa con $S$ y un puntero que muestra el resultado de la medición, digamos girar hacia arriba o hacia abajo. Un observador solo puede ver las salidas del puntero y asocia estas salidas con los valores del observable.$A$ para el sistema $S$.Así, el esquema de medición indirecta implica:

1. los estados del sistemas $S$ y el aparato $M$
2. El operador $U$ representando la dinámica de interacción para el sistema $S+M$
3. el metro observable $M_{A}$ dando salidas del puntero del aparato $M$.

Un modelo de medición indirecta, introducido en Ozawa (1984) como un "proceso de medición (general)", es un cuádruple

$(H,\sigma ,U,M_{A})$

que consta de un espacio de Hilbert ${\mathcal {H}}$ ,un operador de densidad $\sigma \in S({\mathcal {H}})$, Un operador unitario  $U$sobre el producto tensorial de los espacios de estado de  $S$ y $M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$y un operador hermitiano $M_{A}$ on ${\mathcal {H}}$ . Por este modelo de medida, el espacio de Hilbert ${\mathcal {H}}$describe los estados del aparato $M$, El operador unitario $U$ describe la evolución temporal del sistema compuesto $S+M$, El operador de densidad $\sigma$ describe el estado inicial del aparato $M$ , y el operador hermitiano $M_{A}$ describe el metro observable del aparato $M$. Entonces, la distribución de probabilidad de salida. $Pr\{A=x\|\sigma \}$en el estado del sistema $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ es dado por

$Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(18)$

dónde $E^{M_{A}}(x)$ es la proyección espectral de $M_{A}$ para el valor propio $x$.

El cambio de estado $\sigma$ del sistema $S$ causado por la medición para el resultado $A=x$ se representa con la ayuda del mapa $\Im _{A}(x)$en el espacio de operadores de densidad definidos como

${\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(19)$

dónde $Tr_{\mathcal {H}}$es la traza parcial sobre ${\mathcal {H}}$ . Entonces, el mapa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ resultar ser un instrumento cuántico. Así, las propiedades estadísticas de la medida realizada por cualquier modelo de medida indirecta $(H,\sigma ,U,M_{A})$se describe mediante una medida cuántica. Resaltamos que, a la inversa, cualquier instrumento cuántico puede representarse mediante el modelo de medición indirecta (Ozawa, 1984).Así, los instrumentos cuánticos caracterizan matemáticamente las propiedades estadísticas de todas las medidas cuánticas físicamente realizables.