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3.4. Teoría general (Davies-Lewis-Ozawa)

Finalmente, formulamos la noción general de instrumento cuántico. Un superoperador actuando en ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ se llama positivo si mapea el conjunto de operadores semidefinidos positivos en sí mismo. Resaltamos que, para cada $x,\Im _{A}(x)$  dado por (13) puede considerarse como un mapa lineal positivo.

Generalmente cualquier mapa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , donde para cada $x$, el mapa $\Im _{A}(x)$es un superoperador positivo se llama Davies-Lewis (Davies y Lewis, 1970) instrumento cuántico.

Aquí índice ${\textstyle A}$ denota el observable acoplado a este instrumento. Las probabilidades de ${\textstyle A}$-los resultados vienen dados por la regla de Born en forma (15) y la actualización de estado por transformación (14). Sin embargo, Yuen (1987) señaló que la clase de instrumentos de Davies-Lewis es demasiado general para excluir instrumentos físicamente irrealizables. Ozawa (1984) introdujo la importante condición adicional para asegurar que cada instrumento cuántico sea físicamente realizable. Esta es la condición de la positividad completa.

Un superoperador se llama completamente positivo si su extensión natural ${\textstyle \jmath \otimes I}$ al producto tensorial ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})={\mathcal {L}}({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})}$ es de nuevo un superoperador positivo en ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Un mapa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , donde para cada ${\textstyle x}$,el mapa $\Im _{A}(x)$es un superoperador completamente positivo se llama Davies-Lewis-Ozawa (Davies y Lewis 1970, Ozawa, 1984instrumento cuántico o simplemente instrumento cuántico. Como veremos en la Sección 4, la positividad completa es condición suficiente para que un instrumento sea físicamente realizable. Por otro lado, la necesidad se deriva de la siguiente manera (Ozawa, 2004)

cada observable ${\textstyle A}$ de un sistema ${\textstyle S}$ se identifica con el observable ${\textstyle A\otimes I}$de un sistema ${\textstyle S+S'}$con cualquier sistema ${\textstyle S'}$ Externo a ${\textstyle S}$ .10

Entonces, cada instrumento físicamente realizable  $\Im _{A}$ medición ${\textstyle A}$ debe identificarse con el instrumento ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}}$medición ${\textstyle A{\otimes }I}$ tal que${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}(x)=\Im _{A}(x)\otimes I}$. Esto implica que ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ es de nuevo un superoperador positivo, por lo que $\Im _{A}(x)$ Es completamente positivo.

Del mismo modo, cualquier instrumento físicamente realizable $\Im _{A}(x)$ sistema de medición ${\textstyle S}$ debe tener su instrumento extendido ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ sistema de medición ${\textstyle S+S'}$ para cualquier sistema externo ${\textstyle S'}$.Esto se cumple sólo si $\Im _{A}(x)$es completamente positivo. Así, la positividad completa es una condición necesaria para $\Im _{A}$para describir un instrumento físicamente realizable.