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3. Instrumentos cuánticos

3.1. Algunas palabras sobre el formalismo cuántico

Denotamos por ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ un espacio complejo de Hilbert. Por simplicidad, asumimos que es de dimensión finita. Estados puros de un sistema $S$están dados por vectores normalizados de ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ y estados mixtos por operadores de densidad (operadores semidefinidos positivos con traza unitaria). El espacio de los operadores de densidad se denota por $S$ (${\textstyle {\mathcal {H}}}$). El espacio de todos los operadores lineales en ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ se denota con el símbolo ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ . A su vez, este es un espacio lineal. Además, ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ es el espacio complejo de Hilbert con el producto escalar,${\textstyle <A|B>=TrA^{*}B}$. Consideramos operadores lineales actuando en ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Se llaman superoperadores.

La dinámica del estado puro de un sistema cuántico aislado se describe mediante la ecuación de Schrödinger:

$i{\tfrac {d}{dt}}\psi (t)={\widehat {H}}\psi (t)(t),\psi (0)=\psi _{0}$

$(3)$

dónde ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$  es el hamiltoniano del sistema. Esta ecuación implica que el estado puro $\psi (t)$ evoluciona unitariamente $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$, donde  ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ Es un grupo paramétrico de operadores unitarios. ,${\hat {U}}(t):{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ . En física cuántica, hamiltoniano  ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ está asociado con la energía observable. La misma interpretación se utiliza en biofísica cuántica (Arndt et al., 2009). Sin embargo, en nuestro modelo cuántico que describe el procesamiento de información en biosistemas, el operador ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ no tiene acoplamiento directo con la energía física. Este es el generador de evolución que describe las interacciones de información.

La dinámica de Schrödinger para un estado puro implica que la dinámica de un estado mixto (representado por un operador de densidad) se describe mediante la ecuación de von Neumann:

${\frac {d{\hat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {\rho }}(t)],{\hat {\rho }}(0)={\hat {\rho }}_{0}$

$(4)$