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2. Probabilidad clásica versus cuántica

CP fue formalizada matemáticamente por Kolmogorov (1933) Este es el cálculo de medidas de probabilidad, donde un peso no negativo$p(A)$se asigna a cualquier evento $A$. La principal propiedad de CP es su aditividad: si dos eventos $O_{1},O_{2}$son disjuntos, entonces la probabilidad de disyunción de estos eventos es igual a la suma de probabilidades:

$P(O_{1}\lor O_{2})=P(O_{1})+(O_{2})$

QP es el cálculo de amplitudes complejas o, en el formalismo abstracto, vectores complejos. Así, en lugar de operaciones sobre medidas de probabilidad, se opera con vectores. Podemos decir que QP es un modelo vectorial de razonamiento probabilístico. Cada amplitud compleja $\psi$ da la probabilidad por la regla de Born: La probabilidad se obtiene como el cuadrado del valor absoluto de la amplitud compleja.

${\displaystyle P=|\psi |^{2}}$

(para la formalización del espacio de Hilbert, consulte la Sección 3.2, fórmula (7)). Al operar con amplitudes de probabilidad complejas, en lugar de la operación directa con probabilidades, se pueden violar las leyes básicas de CP.

En CP, la fórmula de probabilidad total (FTP) se obtiene usando la aditividad de la probabilidad y la fórmula de Bayes, la definición de probabilidad condicional, $P(O_{2}|O_{1})={\tfrac {P(O_{2})\cap (O_{1})}{PO_{1}}}$, $P(O_{1})>0$

Considere el par, y , de variables aleatorias clásicas discretas. Entonces

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )$

Así, en CP la $B$-La distribución de probabilidad se puede calcular a partir de la $A$-probabilidad y las probabilidades condicionales

$P(B=\beta |A=\alpha )$

En QP, el FTP clásico es perturbado por el término de interferencia (Khrennikov, 2010); para observables cuánticos dicotómicos $A$ y $B$Del tipo von Neumann, es decir, dado por operadores hermitianos ${\hat {A}}$ y ${\hat {B}}$, la versión cuántica de FTP tiene la forma:

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(1)$

$+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(2)$

Si el término de interferencia7 es positivo, entonces el cálculo QP generaría una probabilidad mayor que su contraparte CP dada por el FTP clásico (2). En particular, esta amplificación de probabilidad es la base de la supremacía de la computación cuántica.

Hay una gran cantidad de datos estadísticos de la psicología cognitiva, la toma de decisiones, la biología molecular, la genética y la epigenética que demuestran que los biosistemas, desde las proteínas y las células (Asano et al., 2015b) hasta los humanos (Khrennikov, 2010, Busemeyer y Bruza, 2012) utilizan esta amplificación y operar con actualizaciones que no sean de CP. Continuamos nuestra presentación con tales ejemplos.