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8.2. Biologische Funktionen im Quanten-Markov-Rahmen

Wir wenden uns mit der GKSL-Gleichung der offenen Systemdynamik zu. In unserer Modellierung Hamiltonian  ${\widehat {\mathcal {H}}}$ und Lindbladian ${\widehat {L}}$ stellen eine besondere biologische Funktion dar $F$(siehe Khrennikov et al., 2018) für Details. Seine Funktionsweise ergibt sich aus dem Zusammenspiel von internen und externen Informationsflüssen. In den Abschnitten 10, 11.3,  $F$ist eine psychologische Funktion; im einfachsten Fall $F$ steht für eine gestellte Frage $S$ (sagen wir  ist ein Mensch). In Abschnitt 7, $F$ ist die Genregulation des Glucose/Lactose-Stoffwechsels im Escherichia coli-Bakterium. In den Abschnitten 9, 11.2, $F$ stellt den Prozess der epigenetischen Mutation dar. Symbolisch biologische Funktion $F$wird als Quantenobservable dargestellt: Hermitianischer Operator ${\widehat {F}}$ mit der Spektralzerlegung ${\widehat {F}}=\sum _{x}x{\widehat {E}}^{F}(x)$, wo $x$ Label-Ausgänge von $F$. Die Theorie der Quanten-Markov-Zustandsdynamik beschreibt den Prozess der Erzeugung dieser Ausgaben.

Im mathematischen Modell (Asano et al., 2015b, Asano et al., 2017b, Asano et al., 2017a, Asano et al., 2015a, Asano et al., 2012b, Asano et al., 2011, Asano et al ., 2012a), die Ausgänge der biologischen Funktion

$\lim _{t\to \infty }{\widehat {\rho }}(t)={\widehat {\rho }}_{steady}$

$(25)$

so dass es der spektralen Zerlegung von entspricht ${\widehat {F}}$,d.h.

${\widehat {\rho }}_{steady}=\sum _{x}p_{x}{\widehat {E}}^{F}(x)$

$(26)$

wo

$p_{x}\geq \sum _{x}p_{x}=1$

$(26)$

Das bedeutet, dass ${\widehat {\rho }}_{steady}$ ist diagonal in einer orthonormalen Basis, die aus Eigenvektoren von besteht ${\widehat {F}}$. Dieser Zustand, oder genauer gesagt, diese Zerlegung des Dichteoperators ${\widehat {\rho }}_{steady}$, ist die klassische statistische Mischung der grundlegenden Informationszustände, die diese biologische Funktion bestimmen. Die Wahrscheinlichkeiten in der Zustandszerlegung (26) werden statistisch interpretiert.

Stellen Sie sich ein großes Ensemble von Biosystemen mit dem Zustand vor ${\widehat {\rho }}_{0}$ Interaktion mit der Umwelt $\varepsilon$. (Wir erinnern uns, dass die Interaktion mathematisch im Lindbladian kodiert ist ${\widehat {L}}$) Aus dieser Interaktion ergibt sich eine biologische Funktion $F$ produziert Ausgabe $x$mit Wahrscheinlichkeit $p_{x}$.Wir bemerken, dass in den Operatortermen die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt wird als $p_{x}=Tr{\widehat {\rho }}_{steady}{\widehat {E}}^{F}(x)$

Diese Interpretation kann sogar auf ein einzelnes Biosystem angewendet werden, das viele Male auf dieselbe Umgebung trifft.

Zu beachten ist dieser Grenzzustand ${\widehat {\rho }}_{steady}$ drückt die Stabilität gegenüber dem Einfluss der Betonumgebung aus $\varepsilon$. Natürlich würde in der realen Welt der Grenzzustand niemals erreicht werden. Die mathematische Formel (25) beschreibt den Prozess der Stabilisierung, Dämpfung von Schwankungen. Aber sie würden mit der Zeit nie ganz verschwinden.

Wir stellen fest, dass ein stationärer Zustand die stationäre GKSL-Gleichung erfüllt:

$i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }}_{steady}]={\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}_{steady}]$

$(27)$

Es ist auch wichtig darauf hinzuweisen, dass im Allgemeinen ein stationärer Zustand der Quanten-Master-Gleichung nicht eindeutig ist, er hängt von der Klasse der Anfangsbedingungen ab.