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3.3. Aggiornamento dello stato non proiettivo: strumenti atomici

In generale, le proprietà statistiche di qualsiasi misurazione sono caratterizzate da:

la distribuzione di probabilità dell'output ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x\parallel \rho \}}$ , la distribuzione di probabilità dell'output ${\textstyle x}$ della misurazione nello stato di input ${\textstyle \rho }$
la riduzione dello stato quantico ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$ , il cambiamento di stato dallo stato di ingresso ${\textstyle \rho }$ allo stato di uscita ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$ condizionato al risultato ${\textstyle {\text{X}}=x}$ della misurazione.

Nella formulazione di von Neumann, le proprietà statistiche di qualsiasi misura di un osservabile sono determinate in modo univoco dalla regola di Born (5) e dal postulato della proiezione (6), e sono rappresentate dalla mappa (9), uno strumento di tipo von Neumann. Tuttavia, la formulazione di von Neumann non riflette il fatto che lo stesso osservabile $A$ rappresentato dall'operatore hermitiano ${\hat {A}}$ può essere misurato in molti modi.(8) Formalmente, tali schemi di misurazione sono rappresentati da strumenti quantistici.

Consideriamo ora i più semplici strumenti quantistici di tipo non von Neumann, noti come strumenti atomici. Iniziamo ricordando la nozione di POVM (Probability Operator Valued Measure); limitiamo le considerazioni ai POVM con un dominio discreto di definizione ${\textstyle X=\{x_{1}....,x_{N}.....\}}$ . POVM è una mappa ${\textstyle x\rightarrow {\hat {D}}(x)}$ tale che per ogni ${\textstyle x\in X}$ , ${\hat {D}}(x)$ è un operatore Hermitiano contrattivo positivo (chiamato effetto) (ovvero ${\textstyle {\hat {D}}(x)^{*}={\hat {D}}(x),0\leq \langle \psi |{\hat {D}}(x)\psi \rangle \leq 1}$ o qualsiasi ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ ) e la condizione di normalizzazione ${\textstyle \sum _{x}{\hat {D}}(x)=I}$ , dove ${\textstyle I}$ è l'operatore di unità. Si presume che per qualsiasi misurazione, la distribuzione di probabilità di output ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}}$ sia data da

{\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{\hat {D}}(x)\rho ]}

(10)

dove ${\textstyle {\hat {D}}(x)}$ è un POVM. Per gli strumenti atomici si presume che gli effetti siano rappresentati concretamente nella forma

{\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {V}}(x)^{*}{\hat {V}}(x)}

(11)

dove ${\textstyle {V}(x)}$ è un operatore lineare in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ . Quindi, la condizione di normalizzazione ha la forma ${\textstyle \sum _{x}V(x)^{*}V(x)=I}$ .(9) La regola Born può essere scritta in modo simile a (5):

{\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{V}(x)\rho {V}^{*}(x)]}

(12)

Si presume che la trasformazione dello stato post-misurazione sia basata sulla mappa:

*

{\textstyle \rho \rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)\rho =V(X)\rho V^{*}(x)}}}

(13)

quindi la riduzione dello stato quantico è data da

*

{\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{x}}=x)}={\frac {{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho }{Tr[{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho ]}}}

(14)

La mappa $x\rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)}}$ data da (13) è uno strumento quantistico atomico. Osserviamo che la regola di Born (12) può essere scritta nella forma

*

{\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[\Im _{A}(x)\rho ]}

(15)

f

Sia ${\hat {A}}$ un operatore Hermitiano in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ . Considera un POVM ${\textstyle {\hat {D}}={\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ con il dominio di definizione dato dallo spettro di ${\hat {A}}$ . Questo POVM rappresenta una misura di $A$ osservabile se vale la regola di Born:

{\textstyle Pr\{{\text{A}}=x||\rho \}=Tr[{\widehat {D}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]}

(16)

Pertanto, in linea di principio, le probabilità dei risultati sono ancora codificate nella scomposizione spettrale dell'operatore ${\hat {A}}$ o in altre parole gli operatori ${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ dovrebbero essere selezionati in modo tale da generare le probabilità corrispondenti alla scomposizione spettrale della rappresentazione simbolica ${\hat {A}}$ delle osservabili $A$ , ovvero, ${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ è univocamente determinato da ${\hat {A}}$ come ${\textstyle {\hat {D}}^{A}(x)={\hat {E}}^{A}(x)}$ .

Possiamo dire che questo operatore contiene solo informazioni sulle probabilità dei risultati, contrariamente allo schema di von Neumann, l'operatore ${\hat {A}}$ non codifica la regola dell'aggiornamento dello stato. Per uno strumento atomico, le misurazioni dell'osservabile $A$ hanno l'unica distribuzione di probabilità di output secondo la regola di Born (16), ma hanno molte diverse riduzioni dello stato quantico a seconda della scomposizione dell'effetto ${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {E}}^{A}(x)=V(x)^{*}V(x)}$ in modo tale che

{\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{A}}=x)}={\frac {{V}(x)\rho V(x)^{*}}{Tr[{V}(x)\rho V(x)^{*}]}}}

(17)