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8. Sistemi quantistici aperti: interazione di un biosistema con il suo ambiente

Come già sottolineato, qualsiasi biosistema $S$ è fondamentalmente aperto. Pertanto, la dinamica del suo stato deve essere modellata tramite un'interazione con l'ambiente circostante $\varepsilon$. Gli stati di $S$ e $\varepsilon$ sono rappresentati negli spazi di Hilbert ${\mathcal {H}}$ e ${\mathcal {H}}'$. Il sistema composto $S+\varepsilon$ è rappresentato negli spazi di Hilbert del prodotto tensoriale ${\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H'}}$. Questo sistema è trattato come un sistema isolato e in accordo con la teoria quantistica, la dinamica del suo stato puro può essere descritta dall'equazione di Schrödinger:

$i{\tfrac {d}{dt}}\Psi (t)={\widehat {H}}\Psi (t)(t),\Psi (0)=\Psi _{0}$

$(21)$

dove $\psi (t)$ è lo stato puro del sistema $S+\varepsilon$ e ${\hat {\mathcal {H}}}$ è il suo Hamiltoniano. Questa equazione implica che lo stato puro $\psi (t)$ evolva unitariamente $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$.Qui ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$. L'hamiltoniano (generatore di evoluzione) che descrive le interazioni informative ha la forma ${\hat {\mathcal {H}}}={\hat {\mathcal {H}}}_{s}+{\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }+{\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$, dove  ${\hat {\mathcal {H}}}_{s}$, ${\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }$ sono Hamiltoniani dei sistemi e  ${\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$ è l'Hamiltoniana di interazione.12 Questa equazione implica che l'evoluzione dell'operatore di densità ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ del sistema $S+\varepsilon$ è descritta dall'equazione di von Neumann:

${\tfrac {d{\widehat {R}}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {R}},(t)],{\widehat {R}}(0)={\widehat {R}}_{0}$

$(22)$

uttavia, lo stato  ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ è troppo complesso per qualsiasi analisi matematica: l'ambiente include troppi gradi di libertà. Pertanto, ci interessa solo lo stato di $S$; la sua dinamica è ottenuta tramite il tracciamento dello stato di  $S+\varepsilon$ w.r.t. ed i gradi di libertà di $\varepsilon$:

${\widehat {\rho }}(t)=Tr_{\mathcal {H}}{\widehat {R}}(t)$

$(23)$

Generalmente questa equazione, la 'equazione quantistica principale', è matematicamente molto complicata. Nelle applicazioni viene utilizzata una varietà di approssimazioni.

8.1. Modello quantistico di Markov: equazione di Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblade

L'approssimazione più semplice dell'equazione master quantistica (23) è la dinamica quantistica di Markov data dall'equazione Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad (GKSL) (Ingarden et al., 1997) (in fisica, è comunemente chiamata semplicemente equazione di Lindblad; questa è l'equazione master quantistica più semplice):

${\tfrac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }},(t)]+{\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}(t),{\widehat {\rho }}(0)={\widehat {\rho }}_{0}$

$(24)$

dove l'operatore hermitiano (Hamiltoniano) ${\widehat {\mathcal {H}}}$ descrive la dinamica interna di $S$ e il superoperatore ${\widehat {L}}$, agendo nello spazio degli operatori di densità, descrive un'interazione con l'ambiente $\varepsilon$. Questo superoperatore è spesso chiamato Lindbladiano. L'equazione GKSL è un'equazione master quantistica per la dinamica markoviana. In questo articolo non abbiamo la possibilità di spiegare la nozione di markovianità quantistica in modo più dettagliato. L'equazione master quantistica (23) descrive generalmente dinamiche non markoviane.

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