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Modell

Jede der j Elektroden wird durch ein geordnetes Paar beschrieben ($x_{j},y_{j},z_{j}$) im dreidimensionalen Raum. Um diese Analyse abzuschließen, wurden die Elektroden zunächst auf die ($x,y$) Ebene, wobei die Tiefe des Kopfes entfernt wird. Fig. 1A zeigt die Positionen jeder Elektrode in diesem 2D-Raum. Nach dieser Projektion wurden die Zeitverläufe für jede der 92 Elektroden Hilbert-transformiert und dann gemäß dem unter Verwendung von Gl. (2). In diesem Elektrodenpositionsraum wurde eine Wahrscheinlichkeit als Quadrat des Hilbert-transformierten Zeitverlaufs definiert (Gl. 3), analog zu den Wellenfunktionen der Quantenmechanik. Acht Regionen Anterior L/R, Posterior L/R, Parietal L/R, Occipital L/R) wurden dann durch Gruppieren der 92 Elektroden definiert, und die Eintrittshäufigkeiten in jede Region fG wurden durch Summieren der Wahrscheinlichkeitselektroden innerhalb der Gruppe erhalten. dann rechtzeitig integrieren.

$Prob_{G}(t)=\sum _{j=1}^{92}\Psi _{k}^{*}(t)\times \Psi _{k}(t);f_{G}={\tfrac {1}{T}}\sum _{j=1}^{T}Prob_{G}(t)$

$(6)$

wobei jede der acht mit dem Index bezeichneten Gruppen eine unterschiedliche Anzahl von konstituierenden Elektroden N hat. Hinter dem Hinterkopf links und rechts sind jeweils 10 Elektroden, im Scheitelbereich links und rechts sind jeweils 17 Elektroden, im Hinterkopf links und rechts dort sind 10 bzw. 11 Elektroden, und vorne links und rechts befinden sich 8 bzw. 9 Elektroden.

Nach Erhalt der Frequenzen auf Gruppenebene wurden Mittelwerte für Position und Impuls unter Verwendung von Gl. (4) und (5) (mit identischen Ausdrücken für y). Schließlich suchten wir zur Feststellung unserer analogen Unbestimmtheitsrelation Ausdrücke der Form

$\bigtriangleup x={\sqrt {\langle x^{2}(t)\rangle -\langle x(t)\rangle ^{2}}};\bigtriangleup p_{x}={\sqrt {\langle p_{x}^{2}(t)\rangle -\langle p_{x}(t)\rangle ^{2}}}$

$(7)$

Der Ausdruck for kann leicht auf die oben definierten Wahrscheinlichkeiten und Positionen angewendet werden, was zu dem ersten Term führt, der durch gegeben ist

$\langle x^{2}(t)\rangle =\sum _{j=1}^{92}P_{j}(t)x_{j}^{2}$

$(8)$

Und der zweite Term, der durch das Quadrat von Gl. (4). Die zweite Amtszeit von $\Delta P_{x}$ ist durch das Quadrat von Gl. (5), aber der erste Term ist nuancierter. Dies liegt an der komplexen Zahl, die zurückgegeben wird, wenn der Ableitungsoperator zweimal auf die Wahrscheinlichkeit angewendet wird. Um dies zu überwinden, wurden Fourier-Transformationen verwendet, um Gl. (5) in die Impulsbasis, die dann die effiziente Berechnung von ermöglichte $P_{x}^{2}(t)$.

Bezeichnung ${\tilde {P}}_{j}(t)$als Impuls-Raum-Wahrscheinlichkeit, erhalten durch eine zweidimensionale, nicht gleichförmige Fourier-Transformation der Ortsraum-Pseudowellenfunktion, Gl. (5) kann umgeschrieben werden als

$\langle p_{x}(t)\rangle =\sum _{j=1}^{92}{\tilde {P}}_{j}(t)p_{j}$

$(9)$

Führend zum ersten Term im zu schreibenden Ausdruck als,

$\langle p_{x}^{2}(t)\rangle =m^{2}\sum _{j=1}^{92}{\tfrac {x_{j}^{2}}{{\tilde {p}}_{j}(t)}}[{d \over dt}P_{j}(t)]^{2}$

$(10)$

Der FINUFFT-Python-Wrapper wurde verwendet, um die Fourier-Transformation unter Verwendung einer ungleichmäßigen 2d-FFT des Typs 3, 2d durchzuführen, und der zeitliche Minimalwert der Unsicherheitsrelation wurde gefunden. Punkte im Impulsraum wurden abgetastet $p_{x}\in [-4,4]$Und $p_{y}\in [-4,5]$ zusammen mit den zwei zusätzlichen Punkten ($[-5,-4]$) Und ($[-4,-5]$)

Abbildung 4 zeigt die Orts- und Impulswahrscheinlichkeiten jeweils in ihrer eigenen Basis. Eine Animation, die zeigt, wie sich diese im Laufe der Zeit für die verschiedenen Bedingungen entwickeln, ist in Ergänzungsmaterial 2 dargestellt.

Abbildung 4: (A) Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein einzelnes Subjekt in der Positionsbasis. (B) Momentum-Basis-Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein einzelnes Subjekt. Die für die Fourier-Transformation verwendeten Impulswerte sind durch die Punktpositionen angegeben. Punkte sind farb-/größencodiert, um den Wahrscheinlichkeitswert an dieser Stelle darzustellen.

Um die in Tabelle 2 angegebenen Werte zu berechnen, wurde für jedes Subjekt der entsprechende Wert gefunden, und diese wurden verwendet, um den hier angegebenen Gruppendurchschnitt zu berechnen.

Ergänzende Angaben

Ergänzende Zahlen.(28M, docx)

Ergänzende Informationen.(375K, docx)