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Riflessioni finali

La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto $7L_{c}$.

Analisi geometrica e matematica del discostarsi dei vettori dalla conica

Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale

Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché la 'rotazione del condilo laterotrusivo' attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare e la traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

e il vettore posizione del molare laterotrusivo come $\mathbf {r} _{L_{m}}(t)=(x_{L_{m}}(t),y_{L_{m}}(t))$il discostarsi del vettore è determinato dal residuo:

$R_{L_{m}}=A(x_{L_{m}})^{2}+Bx_{L_{m}}y_{L_{m}}+C(y_{L_{m}})^{2}+Dx_{L_{m}}+Ey_{L_{m}}+F$

Essendo $R_{L_{m}}\approx 0$, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica.

Vettore molare controlaterale (mediotrusivo)

Il molare 'controlaterale' (mediotrusivo) si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché il condilo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione e la traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale.

Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo dato da$R_{M_{m}}=A(x_{M_{m}})^{2}+Bx_{M_{m}}y_{M_{m}}+C(y_{M_{m}})^{2}+Dx_{M_{m}}+Ey_{M_{m}}+F$

con$|R_{M_{m}}|>|R_{L_{m}}|$dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica.

Vettore incisale

Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da$R_{I}=A(x_{I})^{2}+Bx_{I}y_{I}+C(y_{I})^{2}+Dx_{I}+Ey_{I}+F$con$|R_{L_{m}}|<|R_{I}|<|R_{M_{m}}|$dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale.

«Why is the patient's key the REAL one?»
(Answer: Consider the Gate Control phenomenon.)