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Discussioni e conclusioni

Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.

1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare

Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza).

Definiamo:

• $\mathbf {C} _{L}(t)=(0,10,0)$: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {C} _{M}(t)=(0,-10,0)$: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {M} _{L}(t)=(5,5,-5)$: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo $t=0$.

2. Rotazione e Traslazione dei Condili

Condilo Laterotrusivo (Lavorante)

Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di:

• **Rotazione laterale** con angolo $\theta _{L}$ rispetto all’asse verticale $Z$.
• **Traslazione retrusiva** lungo l'asse $X$, rappresentata da $d_{L}$.

La posizione del condilo laterotrusivo è quindi:

$\mathbf {C} _{L}(t)=\mathbf {C} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot (0,10,0)+\mathbf {d} _{L}$

dove $R(\theta _{L})$ è la matrice di rotazione intorno all’asse $Z$ (ora considerato correttamente come verticale), e $\mathbf {d} _{L}=(-d_{L},0,0)$ rappresenta la traslazione retrusiva.

Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)

Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che combina una rotazione con angolo $\theta _{M}$:

$\mathbf {C} _{M}(t)=\mathbf {C} _{M}(0)+R(\theta _{M})\cdot (0,-10,0)$

con $R(\theta _{M})$ come matrice di rotazione intorno all’asse $Z$.

3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo

Il tracciato del punto molare laterotrusivo è influenzato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo sia dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo è:

$\mathbf {M} _{L}(t)=\mathbf {M} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot \mathbf {M} _{L}(0)+\alpha \cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)$

dove:

• $R(\theta _{L})$ rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
• $\alpha$ e $\beta$ sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili.

4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva

Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:

$\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)=\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)+(-d_{L},0,-5)$

dove $\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)$ rappresenta la componente lateroretrusiva aggiornata, considerando la posizione inferiore del punto molare rispetto ai condili.

Interpretazione

Questa versione riveduta riflette la disposizione modificata:

1. I condili sono ora allineati lungo l'asse $Y$.

2. Il punto molare laterotrusivo si trova in una posizione più bassa sull'asse $Z$, rappresentando una configurazione spaziale in sintonia con la nuova disposizione.