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3.3. Aggiornamento dello stato non proiettivo: strumenti atomici

In generale, le proprietà statistiche di qualsiasi misurazione sono caratterizzate da:

1. la distribuzione di probabilità dell'output ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x\parallel \rho \}}$, la distribuzione di probabilità dell'output ${\textstyle x}$  della misurazione nello stato di input ${\textstyle \rho }$
2. la riduzione dello stato quantico ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$, il cambiamento di stato dallo stato di ingresso ${\textstyle \rho }$  allo stato di uscita ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$ condizionato al risultato ${\textstyle {\text{X}}=x}$ della misurazione.

In general, the statistical properties of any measurement are characterized by

1. the output probability distribution ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x\parallel \rho \}}$, the probability distribution of the output ${\textstyle x}$ of the measurement in the input state ${\textstyle \rho }$;
2. the quantum state reduction ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$,the state change from the input state ${\textstyle \rho }$  to the output state ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$ conditional upon the outcome ${\textstyle {\text{X}}=x}$ of the measurement.

Nella formulazione di von Neumann, le proprietà statistiche di qualsiasi misura di un osservabile  sono determinate in modo univoco dalla regola di Born (5) e dal postulato della proiezione (6), e sono rappresentate dalla mappa (9), uno strumento di tipo von Neumann. Tuttavia, la formulazione di von Neumann non riflette il fatto che lo stesso osservabile $A$ rappresentato dall'operatore hermitiano ${\hat {A}}$ può essere misurato in molti modi.(8) Formalmente, tali schemi di misurazione sono rappresentati da strumenti quantistici.

Consideriamo ora i più semplici strumenti quantistici di tipo non von Neumann, noti come strumenti atomici. Iniziamo ricordando la nozione di POVM (Probability Operator Valued Measure); limitiamo le considerazioni ai POVM con un dominio discreto di definizione ${\textstyle X=\{x_{1}....,x_{N}.....\}}$. POVM è una mappa ${\textstyle x\rightarrow {\hat {D}}(x)}$ tale che per ogni ${\textstyle x\in X}$,${\hat {D}}(x)$  è un operatore Hermitiano contrattivo positivo (chiamato effetto) (ovvero ${\textstyle {\hat {D}}(x)^{*}={\hat {D}}(x),0\leq \langle \psi |{\hat {D}}(x)\psi \rangle \leq 1}$ o qualsiasi ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$) e la condizione di normalizzazione ${\textstyle \sum _{x}{\hat {D}}(x)=I}$

Now, we consider the simplest quantum instruments of non von Neumann type, known as atomic instruments. We start with recollection of the notion of POVM (probability operator valued measure); we restrict considerations to POVMs with a discrete domain of definition ${\textstyle X=\{x_{1}....,x_{N}.....\}}$. POVM is a map ${\textstyle x\rightarrow {\hat {D}}(x)}$ such that for each ${\textstyle x\in X}$,${\hat {D}}(x)$  is a positive contractive Hermitian operator (called effect) (i.e.,${\textstyle {\hat {D}}(x)^{*}={\hat {D}}(x),0\leq \langle \psi |{\hat {D}}(x)\psi \rangle \leq 1}$ or any ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$), and the normalization condition

${\textstyle \sum _{x}{\hat {D}}(x)=I}$, dove ${\textstyle I}$ è l'operatore di unità. Si presume che per qualsiasi misurazione, la distribuzione di probabilità di output ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}}$ sia data da

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{\hat {D}}(x)\rho ]}$

$(10)$

dove ${\textstyle {\hat {D}}(x)}$  è un POVM. Per gli strumenti atomici si presume che gli effetti siano rappresentati concretamente nella forma

${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {V}}(x)^{*}{\hat {V}}(x)}$

$(11)$

dove ${\textstyle {V}(x)}$ è un operatore lineare in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Quindi, la condizione di normalizzazione ha la forma ${\textstyle \sum _{x}V(x)^{*}V(x)=I}$.(9) La regola Born può essere scritta in modo simile a (5):

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{V}(x)\rho {V}^{*}(x)]}$

$(12)$

Si presume che la trasformazione dello stato post-misurazione sia basata sulla mappa:

*

${\textstyle \rho \rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)\rho =V(X)\rho V^{*}(x)}}}$

$(13)$

quindi la riduzione dello stato quantico è data da

*

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{x}}=x)}={\frac {{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho }{Tr[{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho ]}}}$

$(14)$

La mappa $x\rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)}}$ data da (13) è uno strumento quantistico atomico. Osserviamo che la regola di Born (12) può essere scritta nella forma

*

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[\Im _{A}(x)\rho ]}$

$(15)$f

Sia ${\hat {A}}$ un operatore Hermitiano in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Considera un POVM ${\textstyle {\hat {D}}={\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$con il dominio di definizione dato dallo spettro di ${\hat {A}}$. Questo POVM rappresenta una misura di $A$ osservabile se vale la regola di Born:

${\textstyle Pr\{{\text{A}}=x||\rho \}=Tr[{\widehat {D}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]}$

$(16)$

Pertanto, in linea di principio, le probabilità dei risultati sono ancora codificate nella scomposizione spettrale dell'operatore ${\hat {A}}$ o in altre parole gli operatori ${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ dovrebbero essere selezionati in modo tale da generare le probabilità corrispondenti alla scomposizione spettrale della rappresentazione simbolica ${\hat {A}}$ delle osservabili $A$, ovvero, ${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ è univocamente determinato da ${\hat {A}}$ come ${\textstyle {\hat {D}}^{A}(x)={\hat {E}}^{A}(x)}$.

Possiamo dire che questo operatore contiene solo informazioni sulle probabilità dei risultati, contrariamente allo schema di von Neumann, l'operatore ${\hat {A}}$ non codifica la regola dell'aggiornamento dello stato. Per uno strumento atomico, le misurazioni dell'osservabile $A$ hanno l'unica distribuzione di probabilità di output secondo la regola di Born (16), ma hanno molte diverse riduzioni dello stato quantico a seconda della scomposizione dell'effetto ${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {E}}^{A}(x)=V(x)^{*}V(x)}$ in modo tale che

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{A}}=x)}={\frac {{V}(x)\rho V(x)^{*}}{Tr[{V}(x)\rho V(x)^{*}]}}}$

$(17)$

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