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Discussioni e conclusioni

Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.

Coordinate dei Condili e del Punto Molarare

Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza).

Definiamo:

• $\mathbf {C} _{L}(t)=(0,10,0)$: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {C} _{M}(t)=(0,-10,0)$: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {M} _{L}(t)=(5,5,-5)$: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo $t=0$.

Rotazione e Traslazione dei Condili

Condilo Laterotrusivo (Lavorante)

Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di:

• **Rotazione laterale** con angolo $\theta _{L}$ rispetto all’asse verticale $Z$.
• **Traslazione retrusiva** lungo l'asse $X$, rappresentata da $d_{L}$.

La posizione del condilo laterotrusivo è quindi:

$\mathbf {C} _{L}(t)=\mathbf {C} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot (0,10,0)+\mathbf {d} _{L}$

dove $R(\theta _{L})$ è la matrice di rotazione intorno all’asse $Z$ (ora considerato correttamente come verticale), e $\mathbf {d} _{L}=(-d_{L},0,0)$ rappresenta la traslazione retrusiva.

Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)

Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che combina una rotazione con angolo $\theta _{M}$:

$\mathbf {C} _{M}(t)=\mathbf {C} _{M}(0)+R(\theta _{M})\cdot (0,-10,0)$

con $R(\theta _{M})$ come matrice di rotazione intorno all’asse $Z$.

Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo

Il tracciato del punto molare laterotrusivo è influenzato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo sia dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo è:

$\mathbf {M} _{L}(t)=\mathbf {M} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot \mathbf {M} _{L}(0)+\alpha \cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)$

dove:

• $R(\theta _{L})$ rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
• $\alpha$ e $\beta$ sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili.

Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva

Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:

$\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)=\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)+(-d_{L},0,-5)$

dove $\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)$ rappresenta la componente lateroretrusiva aggiornata, considerando la posizione inferiore del punto molare rispetto ai condili.

Questa versione riveduta riflette la disposizione modificata:

1. I condili sono ora allineati lungo l'asse $Y$.

2. Il punto molare laterotrusivo si trova in una posizione più bassa sull'asse $Z$, rappresentando una configurazione spaziale in sintonia con la nuova disposizione.

Estendiamo ora il formalismo matematico per includere il comportamento del punto incisale e del punto molare mediotrusivo, completando così la descrizione della dinamica tra i condili e i punti di contatto chiave della mandibola.

Tracciato del Punto Incisale

Il punto incisale segue una traiettoria influenzata dalla combinazione dei movimenti di entrambi i condili, ma il suo spostamento è principalmente una funzione del **movimento globale della mandibola**. Questo tracciato può essere modellato considerando la somma delle componenti laterali e retrusive trasmesse dai condili, con pesi che riflettono la loro influenza sul movimento anteriore della mandibola.

Definiamo il punto incisale come:

$\mathbf {I} (t)=(x_{I}(t),y_{I}(t),z_{I}(t))$

La posizione $\mathbf {I} (t)$ è data da:

$\mathbf {I} (t)=\mathbf {I} (0)+\gamma \cdot R(\theta _{L})\cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\delta \cdot R(\theta _{M})\cdot \mathbf {C} _{M}(t)$ dove:

• $\gamma$ e $\delta$ sono coefficienti che riflettono l'influenza proporzionale dei condili sul tracciato incisale,
• $R(\theta _{L})$ e $R(\theta _{M})$ rappresentano le rotazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, rispettivamente, intorno all'asse verticale $Z$.

Tracciato del Punto Molarare Mediotrusivo

Analogamente al punto molare laterotrusivo, il punto molare mediotrusivo ($\mathbf {M} _{M}$) è influenzato dai movimenti combinati dei due condili, ma con una maggiore influenza del condilo mediotrusivo. Definiamo:

$\mathbf {M} _{M}(t)=(x_{m_{M}}(t),y_{m_{M}}(t),z_{m_{M}}(t))$

Il tracciato di $\mathbf {M} _{M}(t)$ può essere modellato come:

$\mathbf {M} _{M}(t)=\mathbf {M} _{M}(0)+\beta '\cdot R(\theta _{L})\cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\alpha '\cdot R(\theta _{M})\cdot \mathbf {C} _{M}(t)$

dove:

• $\beta '$ e $\alpha '$ sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo,
• $R(\theta _{L})$ e $R(\theta _{M})$ descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo intorno all'asse $Z$.

Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive

Per completare la rappresentazione della componente lateroretrusiva sui punti incisale e molari, è essenziale considerare la risultante delle **forze vettoriali** generate dai movimenti dei condili.

Componente Lateroretrusiva del Punto Incisale

$\mathbf {I} _{\text{ret}}(t)=\delta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)+(-d_{I},0,-5)$

dove $\mathbf {I} _{\text{ret}}(t)$ rappresenta la traiettoria lateroretrusiva del punto incisale, considerando la componente di retrazione e la posizione inferiore dell'incisale rispetto ai condili sull'asse $Z$.

Cnclusioni

Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z

Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale $Z$ è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile.

Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale $Z$ come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo.

Questo fenomeno rivela che l’asse verticale $Z$ non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse $Z$ come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'.

Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue:

1. L'asse $Z$ sarebbe trattato come un 'punto fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo.

2. Le equazioni del movimento dovrebbero essere semplificate, assumendo che $R(\theta _{L})$ rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro fisso su $Z$, senza interazioni orbitali.

Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico.

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Bibliography & references