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Conjunto difuso ${\tilde {A}}$ y función de pertenencia $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$

Elegimos, como formalismo, representar un conjunto borroso con la 'tilde': ${\tilde {A}}$ Un conjunto borroso es un conjunto donde los elementos tienen un 'grado' de pertenencia (de acuerdo con la lógica borrosa): algunos pueden incluirse en el conjunto en 100%, otros en porcentajes menores.

Para representar matemáticamente este grado de pertenencia se encuentra la función $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ denominada 'Función de pertenencia'. La función $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ es una función continua definida en el intervalo $[0;1]$ donde es:

• $\mu _{\tilde {A}}(x)=1\rightarrow$ si $x$ está totalmente contenido en $A$ (estos puntos se llaman 'núcleo', indican valores predicados plausibles).
• $\mu _{\tilde {A}}(x)=0\rightarrow$si $x$ no está contenido en $A$
• $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1\;\rightarrow$si $x$ está parcialmente contenido en $A$ (estos puntos se llaman 'soporte', indican los posibles valores predicados).

La representación gráfica de la función $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ puede ser variado; desde los de líneas lineales (triangulares, trapezoidales) hasta los que tienen forma de campana o 'S' (sigmoidales) como se muestra en la Figura 1, que contiene todo el concepto gráfico de la función de pertenencia....

Figure 1: Types of graphs for the membership function.

El conjunto soporte de un conjunto borroso se define como la zona en la que el grado de pertenencia resulta $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$; por su parte, el núcleo se define como el ámbito en el que el grado de pertenencia asume el valor $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$

El 'Conjunto de soporte' representa los valores del predicado que se consideran posibles, mientras que el 'núcleo' representa los que se consideran más plausibles.

Si ${A}$ representara un conjunto en el sentido ordinario del término o en la lógica del lenguaje clásico descrita anteriormente, su función de pertenencia podría asumir solo los valores $1$ o $0$, $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1\;\lor \;\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ finalizando en si el elemento $x$ pertenece o no al todo, según se considere. La Figura 2 muestra una representación gráfica del concepto nítido (rígidamente definido) o confuso de membresía, que recuerda claramente las consideraciones de Smuts.

Volvamos al caso concreto de nuestra Mary Poppins, en el que vemos una discrepancia entre las afirmaciones del dentista y del neurólogo y buscamos una comparación entre la lógica clásica y la lógica difusa:

Figure 2: Representation of the comparison between a classical and fuzzy ensemble.

Figura 2: Imaginemos el Universo de la Ciencia $U$ en el que existen dos mundos o contextos paralelos, el ${A}$ y el ${\tilde {A}}$

${A}=$ En el contexto científico, el llamado ‘crisp’, y lo hemos convertido a la lógica del Lenguaje Clásico, en el que el médico dispone de una información científica absoluta $KB$ con una clara línea divisoria que hemos denominado $KB_{c}$

${\tilde {A}}=$ En otro contexto científico llamado ‘lógica difusa’, y en el que existe una unión entre el subconjunto ${A}$ en ${\tilde {A}}$ que podemos llegar a decir: unión entre $KB_{c}$

Notaremos notablemente las siguientes deducciones:

• Lógica Clásica en el Contexto Odontológico ${A}$ en el que sólo será posible un proceso lógico que dé como resultado $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1$, o siendo $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ el rango de datos $D=\{\delta _{1},\dots ,\delta _{4}\}$ reducido a conocimientos básicos $KB$ en el conjunto ${A}$. Esto quiere decir que fuera del mundo odontológico existe un void y ese término de la teoría de conjuntos se escribe precisamente $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ y que es sinónimo de un rango alto de:

«Error de diagnóstico diferencial»

• Lógica difusa en un contexto dental ${\tilde {A}}$ en el que se representan más allá de los conocimientos básicos $KB$ del contexto dental también aquellos parcialmente adquiridos del mundo neurofisiológico $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ tendrán la prerrogativa de devolver un resultado $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$ y un resultado $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ debido a conocimientos básicos $KB$ que en este punto está representado por la unión de $KB_{c}$ contextos dentales y neurológicos. El resultado de esta implementación científico-clínica de la odontología permitiría una
  «Reducción del error de diagnóstico diferencial»