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11. Biosistemas compuestos

11.1. Enredo de estados de información de biosistemas.

El espacio de estado ${\mathcal {H}}$ del biosistema $S$ compuesto por el subsistemas $S_{j},j=1,2,....n$ , es el producto tensorial de los espacios de estado de los subsistemas ${\mathcal {H}}_{j}$ , entonces

*

\Im =\Im _{1}\otimes ....\otimes \Im _{n}

(31)

La forma más fácil de imaginar este espacio de estados es considerar su representación coordinada con respecto a alguna base construida con bases en ${\mathcal {H}}_{j}$ . Para simplificar, considere el caso de los espacios de estado qubit ${\mathcal {H}}_{j}$ dejar $|\alpha \rangle$ , $|\alpha \rangle =0,1$ , ser alguna base ortonormal en ${\mathcal {H}}_{j}$ ,es decir, los elementos de este espacio son combinaciones lineales de la forma $|\psi _{j}\rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle$ .(Para ser completamente formal, tenemos que etiquetar los vectores base con el índice $j$ , es decir., $|\alpha \rangle \equiv |\alpha \rangle _{j}$ .Pero lo omitiremos.) Entonces vectores $|\alpha _{1}.....\alpha _{n}\rangle \equiv |\alpha _{1}\rangle \otimes ....\otimes |\alpha _{n}\rangle$ formar la base ortonormal en ${\mathcal {H}}$ ,es decir, cualquier estado $|{\mathcal {\Psi }}\in {\mathcal {H}}$ se puede representar en la forma

|\psi \rangle =\sum _{\alpha _{j}=0,1}C_{(}\alpha _{1)}....\alpha _{n}|\alpha _{1}....\alpha _{n}\rangle

(32)

y las coordenadas complejas $C_{\alpha _{1}.....\alpha _{n}}$ se normalizan: $\sum |C_{\alpha _{1}.....\alpha _{n}}|^{2}=1$ . Por ejemplo, si $n=2$ , Nosotros podemos considerar el estado

|\Psi \rangle =(|00\rangle +|11\rangle )/{\sqrt {2}}

(33)

Este es un ejemplo de un estado entrelazado, es decir, un estado que no se puede factorizar en el producto tensorial de los estados de los subsistemas. Un ejemplo de un estado no entrelazado (hasta la normalización) viene dado por

|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|1\rangle +|0\rangle )

Los estados entrelazados son estados básicos para la computación cuántica que explora la inseparabilidad del estado. Actuar sobre un qubit concreto modifica todo el estado. Para un estado separable, al transformar digamos el primer qubit, solo cambiamos el estado del sistema $S_{1}$ .Esta posibilidad de cambiar el estado muy complejo de un sistema compuesto mediante el cambio del estado local de un subsistema se considera como la raíz de la superioridad de la computación cuántica sobre la clásica. Observamos que la dimensión del espacio de estado del producto tensorial es muy grande, es igual a $2^{n}$ para $n$ subsistemas qubit. En la física cuántica, esta posibilidad de manipular con el estado compuesto (que puede tener la gran dimensión) se asocia típicamente con la "no localidad cuántica" y la acción espeluznante a distancia. Pero, incluso en la física cuántica, esta interpretación no local es fuente de debates permanentes. []. En particular, en la serie reciente de artículos [] se demostró que es posible proceder sin referirse a la no localidad cuántica y que la mecánica cuántica puede interpretarse como la teoría física local. El punto de vista local sobre la teoría cuántica es más natural para la aplicación biológica.13 Para los biosistemas, la acción espeluznante a distancia es realmente misteriosa; para los humanos, corresponde a la aceptación de los fenómenos parapsicológicos.

Cómo se puede explicar la generación de transformación de estado del sistema compuesto $S$ por "transformación local" de, digamos, el estado de su subsistema $S_{1}$ ? Aquí, el papel clave lo desempeñan las correlaciones que están codificadas simbólicamente en estados entrelazados. Por ejemplo, considere el sistema compuesto $S=(S_{1},S_{2})$ en el estado $|\Psi \rangle$ dada por (33). Considere los observables de tipo proyección $A_{j}$ en $A_{j}$ representado por operadores hermitianos ${\widehat {A}}_{j}$ con vectores propios $|0\rangle$ , $|1\rangle$ (en espacios qubit ${\mathcal {H}}_{j}$ ). medida de decir $A_{1}$ con la salida $A_{1}=\alpha$ induce la proyección de estado sobre el vector $|\alpha \alpha \rangle$ .

Por lo tanto, la medición de $A_{2}$ producirá automáticamente la salida $A_{2}=\alpha$ . Así, el estado $|\Psi \rangle$ codifica las correlaciones exactas para estos dos observables. De la misma manera, el estado

|\Psi \rangle =(|10\rangle +|01\rangle )/{\sqrt {2}}

(34)

codifica correlaciones $A_{1}=\alpha$ , $A_{2}=\alpha$ (modo 2).

Entonces, 'un estado entrelazado proporciona la representación simbólica de las correlaciones entre los estados de los subsistemas de un biosistema compuesto'

La teoría de los sistemas cuánticos abiertos opera con estados mixtos descritos por operadores de densidad. Y antes de pasar al modelado de funciones biológicas para sistemas compuestos, definimos entrelazamiento para estados mixtos. Considere el caso del producto tensorial de dos espacios de Hilbert, es decir, el sistema $S$ Está compuesto de dos subsistemas $S_{1}$ and $S_{2}$ . Un estado mixto de $S$ dada por ${\widehat {\rho }}$ se llama separable si se puede representar como una combinación convexa de estados del producto ${\widehat {\rho }}=\sum _{k}p_{k}{\widehat {\rho }}_{1k}\otimes {\widehat {\rho }}_{2k}$ , dónde ${\widehat {\rho }}ik$ , $i=1,2$ ,son el operador de densidad del subsistema $S_{i}$ de $S$ . Los estados no separables se denominan entrelazados. Representan simbólicamente correlaciones entre subsistemas.

La dinámica cuántica describe la evolución de estas correlaciones. En el marco de la dinámica de sistemas abiertos, una función biológica se acerca al estado estacionario a través del proceso de decoherencia. Como se discutió en la Sección 8.3, esta dinámica resuelve la incertidumbre que inicialmente estaba presente en el estado de un biosistema; al mismo tiempo, también elimina las correlaciones: el estado estacionario que es diagonal en la base $\{|\alpha _{1}....\alpha _{2}\rangle \}$ es separable (desenmarañado). Sin embargo, en el proceso de evolución del estado, las correlaciones entre subsistemas (entrelazamiento) juegan un papel crucial. Su presencia conduce a transformaciones del estado del sistema compuesto. $S$ vía “transformaciones locales” de los estados de sus subsistemas. Tal dinámica correlacionada del estado de la información global refleja la consistencia de las transformaciones de los estados de los subsistemas.

Dado que el enfoque cuántico se basa en la representación de la información cuántica de los estados de los sistemas, podemos olvidarnos de la ubicación del espacio físico de los biosistemas y trabajar en el espacio de información proporcionado por el complejo espacio de Hilbert. ${\mathcal {H}}$ .En este espacio, podemos introducir la noción de localidad basada en la descomposición del producto tensorial fijo (31). Operaciones en sus componentes ${\mathcal {H}}_{j}$ podemos llamar local (en espacio de información). Pero inducen una evolución "informativamente no local" del estado del sistema compuesto.

11.2. Enredo de epimutaciones de genes

Ahora, volvemos al modelo presentado en la Sección 9 y consideramos el estado de información del epigenoma de la célula que expresa epimutaciones potenciales del tipo de marcado de cromatina. Deje que el genoma de la célula consista en $m$ genes $g_{1},....,g_{m}$ .Para cada gen $g$ ,considere todas sus epimutaciones posibles y enumérelas: $j_{g}=1,......k_{g}$ . El estado de todas las posibles epimutaciones en el gen. $g$ se representa como superposición

|\psi _{g}\rangle =\sum _{j_{g}}c_{j_{g})}|j_{g}\rangle

(35)

En la situación ideal (las epimutaciones de los genes son independientes), el estado del epigenoma de la célula se describe matemáticamente mediante el producto tensorial de los estados. $|\psi _{g}\rangle$ :

|\psi _{epi}\rangle =|\psi _{g_{1}}\rangle \otimes ....\otimes |\psi _{g_{m}}\rangle

(36)

Sin embargo, en un biosistema vivo, la mayoría de los genes y proteínas están correlacionados formando un gran sistema de red. Por lo tanto, una epimutación afecta a otros genes. En el marco de la información cuántica, esta situación se describe mediante estados entrelazados:

|\psi _{epi}\rangle =\sum _{j_{g_{1}....{j_{g_{m}}}}}C_{j_{g_{1}....{j_{g_{m}}}}}|j_{g_{1}}...j_{g_{m}}\rangle

(37)

Esta forma de representación de epimutaciones potenciales en el genoma de una célula implica que la epimutación en un gen es consistente con epimutaciones en otros genes. Si el estado está enredado (no factorizado), entonces al actuar, es decir, a través del cambio en el entorno, a un gen, digamos $g_{1}$ , e induciendo alguna epimutación en ella, la célula “puede inducir” epimutaciones consistentes en otros genes.

La linealidad de la representación de la información cuántica de los procesos biofísicos en una célula induce la dinámica del estado lineal. Esto hace que la evolución epigenética sea muy rápida; los elementos fuera de la diagonal de la matriz de densidad disminuyen exponencialmente rápidamente. Por lo tanto, nuestro modelo de tipo cuántico justifica la alta velocidad de la evolución epigenética. Si se basara únicamente en la representación biofísica con dinámica de estado no lineal, sería esencialmente más lento.

El modelado basado en la teoría de los sistemas abiertos conduce a la reconsideración de la interrelación entre el punto de vista darwiniano y lamarckiano sobre la evolución. Aquí nos concentramos en epimutaciones, pero de la misma manera podemos modelar mutaciones (Asano et al., 2015b).^[1]

↑ Asano M., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum Adaptivity in Biology: From Genetics To Cognition Springer, Heidelberg-Berlin-New York(2015)

[1] Asano M., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum Adaptivity in Biology: From Genetics To Cognition Springer, Heidelberg-Berlin-New York(2015)

[1]