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2. Probabilité classique contre probabilité quantique

CP a été formalisé mathématiquement par Kolmogorov (1933) Il s'agit du calcul des mesures de probabilité, où un poids non négatif $p(A)$ est attribué à tout événement $A$. La principale propriété de CP est son additivité : si deux événements $O_{1},O_{2}$ sont disjoints, alors la probabilité de disjonction de ces événements égale à la somme des probabilités :

$P(O_{1}\lor O_{2})=P(O_{1})+(O_{2})$

QP est le calcul des amplitudes complexes ou dans le formalisme abstrait des vecteurs complexes. Ainsi, au lieu d'opérations sur des mesures de probabilité, on opère avec des vecteurs. On peut dire que QP est un modèle vectoriel de raisonnement probabiliste. Chaque amplitude complexe $\psi$ donne la probabilité par la règle de Born : la probabilité est obtenue comme le carré de la valeur absolue de l'amplitude complexe.

${\displaystyle P=|\psi |^{2}}$

(pour la formalisation de l'espace de Hilbert, voir Section 3.2, formule (7)). En opérant avec des amplitudes de probabilité complexes, au lieu de l'opération directe avec des probabilités, on peut violer les lois fondamentales de CP. Dans CP, la formule de probabilité totale (FTP) est dérivée en utilisant l'additivité de la probabilité et la formule de Bayes, la définition de la probabilité conditionnelle, $P(O_{2}|O_{1})={\tfrac {P(O_{2})\cap (O_{1})}{PO_{1}}}$, $P(O_{1})>0$Considérez la paire,  et , de variables aléatoires classiques discrètes. Alors

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )$

Ainsi, dans CP, la distribution de probabilité $B$ peut être calculée à partir de la probabilité $A$ et des probabilités conditionnelles $P(B=\beta |A=\alpha )$

Dans QP, la FTP classique est perturbée par le terme d'interférence (Khrennikov, 2010); pour les observables quantiques dichotomiques $A$ et $B$ de type von Neumann, c'est-à-dire données par les opérateurs hermitiens ${\hat {A}}$ et ${\hat {B}}$, la version quantique de FTP a la forme :

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(1)$

$+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(2)$

Si le terme d'interférence7 est positif, alors le calcul QP générerait une probabilité plus grande que son homologue CP donné par le FTP classique (2). En particulier, cette amplification de probabilité est à la base de la suprématie de l'informatique quantique.

De nombreuses données statistiques issues de la psychologie cognitive, de la prise de décision, de la biologie moléculaire, de la génétique et de l'épigénétique démontrent que les biosystèmes, des protéines et des cellules (Asano et al., 2015b) aux humains (Khrennikov, 2010, Busemeyer et Bruza, 2012) utilisent cette amplification et fonctionner avec des mises à jour non-CP. Nous poursuivons notre présentation avec de tels exemples.