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11. Biosistemi composti

11.1. Entanglement degli stati informativi dei biosistemi

Lo spazio degli stati ${\mathcal {H}}$ del biosistema $S$ costituito dai sottosistemi $S_{j},j=1,2,....n$ , è il prodotto tensoriale degli spazi degli stati dei sottosistemi ${\mathcal {H}}_{j}$ , quindi

*

{\mathcal {H}}={\mathcal {H_{1}}}\otimes ....\otimes {\mathcal {H_{n}}}

(31)

Il modo più semplice per immaginare questo spazio degli stati è considerare la sua rappresentazione delle coordinate rispetto a una base costruita con basi in ${\mathcal {H_{j}}}$ . Per semplicità, consideriamo il caso degli spazi degli stati qubit ${\mathcal {H_{j}}}$ lasciamo $|\alpha \rangle$ , $|\alpha \rangle =0,1$ essere una base ortonormale in ${\mathcal {H_{j}}}$ , cioè elementi di questo spazio sono combinazioni lineari della forma $|\psi _{j}\rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle$ . (Per essere completamente formali, dobbiamo etichettare i vettori di base con l'indice $j$ , cioè $|\alpha \rangle \equiv |\alpha \rangle _{j}$ . Ma lo ometteremo.) Quindi i vettori $|\alpha _{1}.....\alpha _{n}\rangle \equiv |\alpha _{1}\rangle \otimes ....\otimes |\alpha _{n}\rangle$ formano la base ortonormale in ${\mathcal {H}}$ , cioè , qualsiasi stato $|{\mathcal {\Psi }}\in {\mathcal {H_{j}}}$ può essere rappresentato nel modulo

|\psi \rangle =\sum _{\alpha _{j}=0,1}C_{(}\alpha _{1)}....\alpha _{n}|\alpha _{1}....\alpha _{n}\rangle

(32)

e le coordinate complesse $C_{\alpha _{1}.....\alpha _{n}}$ sono normalizzate: $\sum |C_{\alpha _{1}.....\alpha _{n}}|^{2}=1$ . Ad esempio, se $n=2$ , possiamo considerare lo stato

|\Psi \rangle =(|00\rangle +|11\rangle )/{\sqrt {2}}

(33)

Questo è un esempio di stato entangled, cioè uno stato che non può essere fattorizzato nel prodotto tensoriale degli stati dei sottosistemi. Un esempio di stato non entangled (fino alla normalizzazione) è dato da

|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|1\rangle +|0\rangle )

Gli stati entangled sono stati di base per il calcolo quantistico che esplora l'inseparabilità dello stato. Agire su un qubit concreto modifica l'intero stato. Per uno stato separabile, trasformando diciamo il primo qubit, cambiamo solo lo stato del sistema $S_{1}$ . Questa possibilità di cambiare lo stato molto complesso di un sistema composto attraverso il cambiamento dello stato locale di un sottosistema è considerata la radice della superiorità di calcolo quantistico rispetto a quello classico. Osserviamo che la dimensione dello spazio degli stati del prodotto tensoriale è molto grande, ed equivale a $2^{n}$ per $n$ sottosistemi qubit. Nella fisica quantistica, questa possibilità di manipolare con lo stato composto (che può avere la grande dimensione) è tipicamente associata alla "non località quantistica" e all'azione spettrale a distanza. Ma anche nella fisica quantistica questa interpretazione non locale è fonte di dibattiti permanenti []. In particolare, nella recente serie di articoli, è stato dimostrato che è possibile procedere senza fare riferimento alla nonlocalità quantistica e che la meccanica quantistica può essere interpretata come la teoria fisica locale. Il punto di vista locale sulla teoria quantistica è più naturale per l'applicazione biologica.13 Per i biosistemi, l'azione spettrale a distanza è davvero misteriosa; per l'uomo corrisponde all'accettazione dei fenomeni parapsicologici.

Come si può spiegare la generazione della trasformazione dello stato del sistema composto $S$ dalla "trasformazione locale" dello stato del suo sottosistema $S_{1}$ ? Qui il ruolo chiave è svolto dalle correlazioni simbolicamente codificate in stati entangled. Ad esempio, considera il sistema composto $S=(S_{1},S_{2})$ nello stato $|\Psi \rangle$ dato da (33). Considera le osservabili di tipo proiezione $A_{j}$ su $A_{j}$ rappresentate dagli operatori Hermitiani ${\widehat {A}}_{j}$ con autovettori $|0\rangle$ , $|1\rangle$ (negli spazi qubit ${\mathcal {H}}_{j}$ ). La misurazione diciamo $A_{1}$ con l'output $A_{1}=\alpha$ induce la proiezione dello stato sul vettore $|\alpha \alpha \rangle$ . Quindi, la misurazione di $A_{2}$ produrrà automaticamente l'output $A_{2}=\alpha$ . Pertanto, lo stato $|\Psi \rangle$ codifica le correlazioni esatte per questi due osservabili. Allo stesso modo, lo stato

|\Psi \rangle =(|10\rangle +|01\rangle )/{\sqrt {2}}

(34)

codifica le correlazioni $A_{1}=\alpha$ , $A_{2}=\alpha$ (mod 2).

Quindi, "uno stato entangled fornisce la rappresentazione simbolica delle correlazioni tra gli stati dei sottosistemi di un biosistema composto"

La teoria dei sistemi quantistici aperti opera con stati misti descritti da operatori di densità. E prima di passare alla modellazione delle funzioni biologiche per i sistemi composti, definiamo l'entanglement per gli stati misti. Considera il caso del prodotto tensoriale di due spazi di Hilbert, ovvero il sistema $S$ composto da due sottosistemi $S_{1}$ e $S_{2}$ . Uno stato misto di $S$ dato da ${\widehat {\rho }}$ è detto separabile se può essere rappresentato come una combinazione convessa di stati prodotto ${\widehat {\rho }}=\sum _{k}p_{k}{\widehat {\rho }}_{1k}\otimes {\widehat {\rho }}_{2k}$ dove ${\widehat {\rho }}ik$ , $i=1,2$ , sono l'operatore di densità del sottosistema $S_{i}$ di $S$ . Gli stati non separabili sono chiamati entangled. Rappresentano simbolicamente le correlazioni tra i sottosistemi.

La dinamica quantistica descrive l'evoluzione di queste correlazioni. Nel quadro della dinamica dei sistemi aperti, una funzione biologica si avvicina allo stato stazionario attraverso il processo di decoerenza. Come discusso nella Sezione 8.3, questa dinamica risolve l'incertezza che era inizialmente presente nello stato di un biosistema; allo stesso tempo, cancella anche le correlazioni: lo stato stazionario che è diagonale in base $\{|\alpha _{1}....\alpha _{2}\rangle \}$ ed è separabile (districato). Tuttavia, nel processo di stato-evoluzione le correlazioni tra sottosistemi (entanglement) giocano un ruolo cruciale. La loro presenza porta a trasformazioni dello stato del sistema composto $S$ tramite "trasformazioni locali" degli stati dei suoi sottosistemi. Tale dinamica correlata dello stato informativo globale riflette la coerenza delle trasformazioni degli stati dei sottosistemi.

Poiché l'approccio di tipo quantistico si basa sulla rappresentazione dell'informazione quantistica degli stati dei sistemi, possiamo dimenticare la posizione nello spazio fisico dei biosistemi e lavorare nello spazio dell'informazione dato dal complesso spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ . In questo spazio, possiamo introdurre la nozione di località basata sulla decomposizione del prodotto tensoriale fisso (31). Le operazioni nei suoi componenti ${\mathcal {H}}_{j}$ possiamo chiamare locali (nello spazio informazioni). Ma essi inducono un'evoluzione "informazionalmente non locale" dello stato del sistema composto.

11.2. Entanglement delle epimutazioni geniche

Torniamo ora al modello presentato nella Sezione 9 e consideriamo lo stato informativo dell'epigenoma cellulare che esprime potenziali epimutazioni del tipo di marcatura della cromatina. Supponiamo che il genoma della cellula sia composto da $m$ geni $g_{1},....,g_{m}$ . Per ogni gene $g$ , considera tutte le sue possibili epimutazioni ed enumerale: $j_{g}=1,......k_{g}$ . Lo stato di tutte le potenziali epimutazioni nel gene $g$ è rappresentato come sovrapposizione

|\psi _{g}\rangle =\sum _{j_{g}}c_{j_{g})}|j_{g}\rangle

(35)

Nella situazione ideale - le epimutazioni dei geni sono indipendenti - lo stato dell'epigenoma della cellula è descritto matematicamente dal prodotto tensoriale degli stati $|\psi _{g}\rangle$

|\psi _{epi}\rangle =|\psi _{g_{1}}\rangle \otimes ....\otimes |\psi _{g_{m}}\rangle

(36)

Tuttavia, in un biosistema vivente, la maggior parte dei geni e delle proteine sono correlati formando un grande sistema di rete. Pertanto, un'epimutazione colpisce altri geni. Nel quadro dell'informazione quantistica, questa situazione è descritta da stati entangled:

|\psi _{epi}\rangle =\sum _{j_{g_{1}....{j_{g_{m}}}}}C_{j_{g_{1}....{j_{g_{m}}}}}|j_{g_{1}}...j_{g_{m}}\rangle

(37)

Questa forma di rappresentazione delle potenziali epimutazioni nel genoma di una cellula implica che l'epimutazione in un gene sia coerente con le epimutazioni in altri geni. Se lo stato è entangled (non fattorizzato), agendo, cioè attraverso il cambiamento nell'ambiente, su un gene, diciamo $g_{1}$ , e inducendo in esso qualche epimutazione, la cellula "può indurre" epimutazioni coerenti in altri geni.

La linearità della rappresentazione dell'informazione quantistica dei processi biofisici in una cellula induce la dinamica dello stato lineare. Questo rende l'evoluzione epigenetica molto rapida; gli elementi fuori diagonale della matrice di densità diminuiscono in modo esponenziale rapidamente. Pertanto, il nostro modello quantistico giustifica l'elevata velocità dell'evoluzione epigenetica. Se fosse basato esclusivamente sulla rappresentazione biofisica con dinamiche di stato non lineari, sarebbe essenzialmente più lento.

La modellazione basata sulla teoria dei sistemi aperti porta a riconsiderare l'interrelazione tra il punto di vista darwiniano e lamarckiano sull'evoluzione. Qui ci siamo concentrati sulle epimutazioni, ma allo stesso modo possiamo modellare le mutazioni (Asano et al., 2015b).^[1]

↑ Asano M., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum Adaptivity in Biology: From Genetics To Cognition Springer, Heidelberg-Berlin-New York (2015)

[1] Asano M., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum Adaptivity in Biology: From Genetics To Cognition Springer, Heidelberg-Berlin-New York (2015)

[1]