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8. Systèmes quantiques ouverts : interaction d'un biosystème avec son environnement

Comme cela a déjà été souligné, tout biosystème $S$ est fondamentalement ouvert. Par conséquent, la dynamique de son état doit être modélisée via une interaction avec l'environnement environnant $\varepsilon$. Les états de $S$ et $\varepsilon$ sont représentés dans les espaces de Hilbert ${\mathcal {H}}$ et ${\mathcal {H}}$. Le système composé $S+\varepsilon$ est représenté dans les espaces de Hilbert du produit tensoriel${\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$. Ce système est traité comme un système isolé et conformément à la théorie quantique, la dynamique de son état pur peut être décrite par l'équation de Schrödinger :

$i{\tfrac {d}{dt}}\Psi (t)={\widehat {H}}\Psi (t)(t),\Psi (0)=\Psi _{0}$

$(21)$

où $\psi (t)$ est l'état pur du système $S+\varepsilon$ et ${\hat {\mathcal {H}}}$ est son hamiltonien. Cette équation implique que l'état pur $\psi (t)$ évolue unitaire : $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$. Ici ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ Hamiltonien (générateur d'évolution) décrivant les interactions d'information a la forme ${\hat {\mathcal {H}}}={\hat {\mathcal {H}}}_{s}+{\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }+{\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$, où ${\hat {\mathcal {H}}}_{s}$, ${\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }$sont des Hamiltoniens des systèmes et ${\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$ est l'Hamiltonien d'interaction.(12) Cette équation implique que l'évolution de l'opérateur de densité ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ du système $S+\varepsilon$ est décrite par l'équation de von Neumann :

${\tfrac {d{\widehat {R}}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {R}},(t)],{\widehat {R}}(0)={\widehat {R}}_{0}$

$(22)$

Cependant, l'état ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ est trop complexe pour toute analyse mathématique : l'environnement comprend trop de degrés de liberté. Par conséquent, nous ne nous intéressons qu'à l'état $S$; sa dynamique est obtenue par traçage de l'état de  $S+\varepsilon$ w.r.t. les degrés de liberté de $\varepsilon$:

${\widehat {\rho }}(t)=Tr_{\mathcal {H}}{\widehat {R}}(t)$

$(23)$

Généralement cette équation, l'équation maîtresse quantique, est mathématiquement très compliquée. Une variété d'approximations est utilisée dans les applications.

8.1. Modèle quantique de Markov : Équation de Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblade

L'approximation la plus simple de l'équation maîtresse quantique (23) est la dynamique de Markov quantique donnée par l'équation de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKSL) (Ingarden et al., 1997) (en physique, elle est communément appelée simplement l'équation de Lindblad ; c'est l'équation maîtresse quantique la plus simple):

${\tfrac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }},(t)]+{\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}(t),{\widehat {\rho }}(0)={\widehat {\rho }}_{0}$

$(24)$

où l'opérateur hermitien (Hamiltonien) ${\widehat {\mathcal {H}}}$ décrit la dynamique interne de $S$ et le superopérateur ${\widehat {L}}$, agissant dans l'espace des opérateurs de densité, décrit une interaction avec l'environnement $\varepsilon$. Ce superopérateur est souvent appelé Lindbladian. L'équation GKSL est une équation maîtresse quantique pour la dynamique markovienne. Dans cet article, nous n'avons pas la possibilité d'expliquer plus en détail la notion de Markovianité quantique. L'équation maîtresse quantique (23) décrit une dynamique généralement non markovienne.

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