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4. Strumenti quantistici dallo schema delle misurazioni indirette

Il modello base per la costruzione di strumenti quantistici si basa sullo schema delle misurazioni indirette. Questo schema formalizza la seguente situazione: gli output della misurazione sono generati tramite l'interazione di un sistema $S$ con un apparato di misurazione $M$. Questo apparato è costituito da un dispositivo fisico complesso che interagisce con $S$ e da un puntatore che mostra il risultato della misurazione, diciamo spin up o spin down. Un osservatore può vedere solo gli output del puntatore e associa questi output ai valori dell'osservabile $A$ per il sistema $S$. Pertanto, lo schema di misurazione indiretta prevede:

1. gli stati dei sistemi $S$ e dell'apparato $M$
2. l'operatore  $U$ che presenta le dinamiche di interazione per il sistema $S+M$
3. il misuratore osservabile $M_{A}$ che fornisce le uscite del puntatore dell'apparato $M$

Un modello di misurazione indiretta, introdotto in Ozawa (1984) come un "processo di misurazione (generale)", è uno quadrupla $(H,\sigma ,U,M_{A})$ costituito da uno spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$, un operatore di densità $\sigma \in S({\mathcal {H}})$, un operatore unitario  $U$ sul prodotto tensoriale degli spazi di stato di $S$ e$M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ e un operatore Hermitiano $M_{A}$ su ${\mathcal {H}}$. Con questo modello di misurazione, lo spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ descrive gli stati dell'apparato $M$, l'operatore unitario $U$ descrive l'evoluzione nel tempo del sistema composito $S+M$, l'operatore di densità $\sigma$ descrive lo stato iniziale dell'apparato $M$ e l'operatore Hermitiano $M_{A}$ descrive il contatore osservabile dell'apparato $M$. Quindi, la distribuzione di probabilità di uscita $Pr\{A=x\|\sigma \}$ nello stato del sistema $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ è data da

$Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(18)$

dove $E^{M_{A}}(x)$ è la proiezione spettrale di $M_{A}$ per l'autovalore $x$.

Il cambiamento dello stato $\sigma$ del sistema $S$ causato dalla misurazione per l'esito $A=x$ è rappresentato con l'ausilio della mappa $\Im _{A}(x)$ nello spazio degli operatori di densità definiti come

${\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(19)$

dove $Tr_{\mathcal {H}}$ è la traccia parziale su ${\mathcal {H}}$. Quindi, la mappa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ risulta essere uno strumento quantistico. Pertanto, le proprietà statistiche della misurazione realizzata da qualsiasi modello di misurazione indiretta $(H,\sigma ,U,M_{A})$ sono descritte da una misurazione quantistica. Osserviamo che viceversa qualsiasi strumento quantistico può essere rappresentato tramite il modello di misura indiretta (Ozawa, 1984). Pertanto, gli strumenti quantistici caratterizzano matematicamente le proprietà statistiche di tutte le misurazioni quantistiche realizzabili fisicamente.