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3.3. Mise à jour d'état non projective : instruments atomiques

En général, les propriétés statistiques de toute mesure sont caractérisées par

1. la distribution de probabilité de sortie ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x\parallel \rho \}}$, la distribution de probabilité de la sortie ${\textstyle x}$ de la mesure dans l'état d'entrée 0 la réduction de l'état quantique ${\textstyle \rho }$
2. la réduction d'état quantique ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$, le changement d'état de l'état d'entrée ${\textstyle \rho }$ à l'état de sortie ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$ conditionné par le résultat ${\textstyle {\text{X}}=x}$ de la mesure.

Dans la formulation de von Neumann, les propriétés statistiques de toute mesure d'un observable sont uniquement déterminées par la règle de Born (5) et le postulat de projection (6), et elles sont représentées par la carte (9), un instrument de type von Neumann. Cependant, la formulation de von Neumann ne reflète pas le fait que le même observable $A$ représenté par l'opérateur Hermitien ${\hat {A}}$ dans ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ peut être mesuré de plusieurs façons8. Formellement, ces schémas de mesure sont représentés par des instruments quantiques.

Considérons maintenant les instruments quantiques les plus simples de type non von Neumann, dits instruments atomiques. Nous commençons par un rappel de la notion de POVM (Probability Operator Valued Measure) ; nous limitons les considérations aux POVM avec un domaine discret de définition ${\textstyle X=\{x_{1}....,x_{N}.....\}}$. POVM est une carte ${\textstyle x\rightarrow {\hat {D}}(x)}$ telle que pour chaque ${\hat {D}}(x)$ est un opérateur Hermitien contractif positif (appelé effet) (c'est-à-dire ${\textstyle {\hat {D}}(x)^{*}={\hat {D}}(x),0\leq \langle \psi |{\hat {D}}(x)\psi \rangle \leq 1}$ ou tout ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$), et la condition de normalisation ${\textstyle \sum _{x}{\hat {D}}(x)=I}$ est vérifiée, où ${\textstyle I}$ est l'opérateur d'unité. On suppose que pour toute mesure, la distribution de probabilité de sortie ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}}$ est donnée par

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{\hat {D}}(x)\rho ]}$

$(10)$

où ${\textstyle {\hat {D}}(x)}$ est un POVM. Pour les instruments atomiques, on suppose que les effets sont représentés concrètement sous la forme

${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {V}}(x)^{*}{\hat {V}}(x)}$

$(11)$

où ${\textstyle {V}(x)}$ est un opérateur linéaire en ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Par conséquent, la condition de normalisation a la forme ${\textstyle \sum _{x}V(x)^{*}V(x)=I}$.9 La règle de Born peut être écrite de manière similaire à (5) :

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{V}(x)\rho {V}^{*}(x)]}$

$(12)$

On suppose que la transformation de l'état post-mesure est basée sur la carte :

*

${\textstyle \rho \rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)\rho =V(X)\rho V^{*}(x)}}}$

$(13)$

donc la réduction de l'état quantique est donnée par

*

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{x}}=x)}={\frac {{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho }{Tr[{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho ]}}}$

$(14)$

la carte $x\rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)}}$ donnée par (13) est un instrument quantique atomique. On remarque que la règle de Born (12) peut s'écrire sous la forme

*

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[\Im _{A}(x)\rho ]}$

$(15)$f

Soit ${\hat {A}}$ un opérateur hermitien en ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Considérons un POVM ${\textstyle {\hat {D}}={\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ avec le domaine de définition donné par le spectre de ${\hat {A}}$. Ce POVM représente une mesure de $A$ observable si la règle de Born est vérifiée :

${\textstyle Pr\{{\text{A}}=x||\rho \}=Tr[{\widehat {D}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]}$

$(16)$

Ainsi, en principe, les probabilités de résultats sont toujours encodées dans la décomposition spectrale de l'opérateur ${\hat {A}}$ ou en d'autres termes les opérateurs 0${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$doivent être sélectionnés de telle manière qu'ils génèrent les probabilités correspondant à la décomposition spectrale de la représentation symbolique ${\hat {A}}$ des observables $A$, c'est-à-dire que ${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ est déterminé de manière unique par ${\hat {A}}$ en tant que ${\textstyle {\hat {D}}^{A}(x)={\hat {E}}^{A}(x)}$. Nous pouvons dire que cet opérateur ne contient que des informations sur les probabilités des résultats, contrairement au schéma de von Neumann, l'opérateur ${\hat {A}}$ ne code pas la règle de la mise à jour de l'état. Pour un instrument atomique, les mesures de l'observable $A$ ont la distribution de probabilité de sortie unique selon la règle de Born (16), mais ont de nombreuses réductions d'état quantique différentes en fonction de la décomposition de l'effet ${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {E}}^{A}(x)=V(x)^{*}V(x)}$ de telle manière que

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{A}}=x)}={\frac {{V}(x)\rho V(x)^{*}}{Tr[{V}(x)\rho V(x)^{*}]}}}$

$(17)$

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