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3. Strumenti quantistici

3.1. Qualche parola sul formalismo quantistico

Denota con ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ uno spazio di Hilbert complesso. Per semplicità assumiamo che sia di dimensione finita. Gli stati puri di un sistema $S$ sono dati da vettori normalizzati di ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ e gli stati misti da operatori di densità (operatori semidefiniti positivi con traccia unitaria). Lo spazio degli operatori di densità è indicato da $S({\mathcal {H}})$). Lo spazio di tutti gli operatori lineari in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ è indicato dal simbolo ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. A sua volta, questo è uno spazio lineare. Inoltre, ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ è lo spazio complesso di Hilbert con il prodotto scalare ${\textstyle <A|B>=TrA^{*}B}$. Consideriamo operatori lineari che agiscono in ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Sono chiamati superoperatori.

La dinamica dello stato puro di un sistema quantistico isolato è descritta dall'equazione di Schrödinger:

$i{\tfrac {d}{dt}}\psi (t)={\widehat {H}}\psi (t)(t),\psi (0)=\psi _{0}$

$(3)$

dove ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ è l'hamiltoniano del sistema. Questa equazione implica che lo stato puro $\psi (t)$ evolve unitariamente $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$, dove ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ è un gruppo parametrico di operatori unitari, ${\hat {U}}(t):{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$. Nella fisica quantistica, l'hamiltoniano ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ è associato all'energia osservabile. La stessa interpretazione è utilizzata nella biofisica quantistica (Arndt et al., 2009). Tuttavia nella nostra modellazione quantistica che descrive l'elaborazione delle informazioni nei biosistemi, l'operatore  ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ non ha un accoppiamento diretto con l'energia fisica. Questo è il generatore di evoluzione che descrive le interazioni delle informazioni.

La dinamica di Schrödinger per uno stato puro implica che la dinamica di uno stato misto (rappresentato da un operatore di densità) è descritta dall'equazione di von Neumann:

${\frac {d{\hat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {\rho }}(t)],{\hat {\rho }}(0)={\hat {\rho }}_{0}$

$(4)$