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8. Sistemas cuánticos abiertos: interacción de un biosistema con su entorno

Como ya se enfatizó, cualquier biosistema $S$ es fundamentalmente abierto. Por lo tanto, la dinámica de su estado debe modelarse a través de una interacción con el entorno circundante. $\varepsilon$. los estados de $S$ y $\varepsilon$ están representados en los espacios de Hilbert ${\mathcal {H}}$ y ${\mathcal {H}}$. el sistema compuesto $S+\varepsilon$ se representa en el producto tensorial espacios de Hilbert. Este sistema se trata como un sistema aislado y, de acuerdo con la teoría cuántica, la dinámica de su estado puro se puede describir mediante la ecuación de Schrödinger:

$i{\tfrac {d}{dt}}\Psi (t)={\widehat {H}}\Psi (t)(t),\Psi (0)=\Psi _{0}$

$(21)$

dónde $\psi (t)$es el estado puro del sistema $S+\varepsilon$ y ${\hat {\mathcal {H}}}$es su hamiltoniano. Esta ecuación implica que el estado puro $\psi (t)$ evoluciona unitariamente: $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$. Aquí ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$. hamiltoniano (generador de evolución) que describe las interacciones de información tiene la forma ${\hat {\mathcal {H}}}={\hat {\mathcal {H}}}_{s}+{\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }+{\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$, dónde ${\hat {\mathcal {H}}}_{s}$,${\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }$son hamiltonianos de los sistemas y  ${\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$es la interacción hamiltoniana.12 Esta ecuación implica que la evolución del operador de densidad ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ del sistema $S+\varepsilon$ se describe mediante la ecuación de von Neumann:

${\tfrac {d{\widehat {R}}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {R}},(t)],{\widehat {R}}(0)={\widehat {R}}_{0}$

$(22)$

Sin embargo, el estado ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ es demasiado complejo para cualquier análisis matemático: el entorno incluye demasiados grados de libertad. Por lo tanto, sólo nos interesa el estado de $S$; su dinámica se obtiene mediante el seguimiento del estado de  $S+\varepsilon$ w.r.t. los grados de libertad de $\varepsilon$ :

${\widehat {\rho }}(t)=Tr_{\mathcal {H}}{\widehat {R}}(t)$

$(23)$

Generalmente esta ecuación, la ecuación maestra cuántica, es matemáticamente muy complicada. En las aplicaciones se utiliza una variedad de aproximaciones.

8.1. Modelo cuántico de Markov: ecuación de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblade

La aproximación más simple de la ecuación maestra cuántica (23) es la dinámica cuántica de Markov dada por la ecuación de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKSL) (Ingarden et al., 1997) (en física, comúnmente se le llama simplemente la ecuación de Lindblad; esta es la ecuación maestra cuántica más simple):

${\tfrac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }},(t)]+{\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}(t),{\widehat {\rho }}(0)={\widehat {\rho }}_{0}$

$(24)$

donde operador hermitiano (hamiltoniano) ${\widehat {\mathcal {H}}}$ Describe la dinámica interna de $S$ y el superoperador ${\widehat {L}}$, actuando en el espacio de los operadores de densidad, describe una interacción con el entorno $\varepsilon$. Este superoperador a menudo se llama Lindbladian. La ecuación GKSL es una ecuación maestra cuántica para la dinámica markoviana. En este artículo, no tenemos posibilidad de explicar la noción de markovianidad cuántica con más detalle. La ecuación maestra cuántica (23) describe, en general, dinámicas no markovianas.

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