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2. Probabilità classica vs probabilità quantistica

La Probabilità Classica (CP) è stato formalizzato matematicamente da Kolmogorov (1933). Questo è il calcolo delle misure di probabilità, in cui a ogni evento $p(A)$ viene assegnato un peso non negativo $A$. La proprietà principale di CP è la sua additività: se due eventi $O_{1},O_{2}$ sono disgiunti, allora la probabilità di disgiunzione di questi eventi è uguale alla somma delle probabilità:

$P(O_{1}\lor O_{2})=P(O_{1})+(O_{2})$

La Probabilità Quantistica (QP) è il calcolo delle ampiezze complesse o nel formalismo astratto vettori complessi. Pertanto, invece di operazioni su misure di probabilità si opera con vettori. Possiamo dire che QP è un modello vettoriale di ragionamento probabilistico. Ogni ampiezza complessa $\psi$ fornisce la probabilità in base alla regola di Born: la probabilità è ottenuta come quadrato del valore assoluto dell'ampiezza complessa.

${\displaystyle P=|\psi |^{2}}$

(per la formalizzazione dello spazio di Hilbert, vedere la Sezione 3.2, formula (7)). Operando con ampiezze di probabilità complesse, invece dell'operazione diretta con le probabilità, si possono violare le leggi fondamentali di CP.

In CP, la formula della probabilità totale (FTP) è derivata utilizzando l'additività della probabilità e la formula di Bayes, la definizione di probabilità condizionata, $P(O_{2}|O_{1})={\tfrac {P(O_{2})\cap (O_{1})}{PO_{1}}}$,$P(O_{1})>0$.

Consideriamo una coppia di variabili casuali classiche discrete. Allora

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )$

Pertanto, nella CP la distribuzione di probabilità $B$ può essere calcolata dalla probabilità $A$ e dalle probabilità condizionate $P(B=\beta |A=\alpha )$. Nella QP, la FTP classico è perturbato dal termine di interferenza (Khrennikov, 2010); per le osservabili quantistiche dicotomiche $A$ e $B$ di tipo von Neumann, cioè date dagli operatori hermitiani ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$, la versione quantistica di FTP ha la forma:

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(1)$

$+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(2)$

Se il termine di interferenza è positivo, allora il calcolo QP genererebbe una probabilità maggiore della sua controparte CP data dal classico FTP (2). In particolare, questa amplificazione di probabilità è alla base della supremazia del calcolo quantistico.

Esistono numerosi dati statistici provenienti dalla psicologia cognitiva, dal processo decisionale, dalla biologia molecolare, dalla genetica e dall'epigenetica che dimostrano che i biosistemi, dalle proteine e cellule (Asano et al., 2015b) agli esseri umani (Khrennikov, 2010, Busemeyer e Bruza, 2012) usano questa amplificazione ed operano con aggiornamenti non CP. Continuiamo la nostra presentazione con tali esempi.