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3.2. Formalismo de Von Neumann para observables cuánticos

En el formalismo cuántico original (Von Neumann, 1955), físico observable $A$ está representado por un operador hermitiano ${\hat {A}}$ .Consideramos solo operadores con espectros discretos :${\hat {A}}=\sum _{x}x{\hat {E}}^{A}(x)$dónde ${\hat {E}}^{A}(x)$ es el proyector sobre el subespacio de ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ correspondiente al valor propio ${\textstyle x}$. Supongamos que el estado del sistema se representa matemáticamente mediante un operador de densidad ${\textstyle \rho }$. Entonces la probabilidad de obtener la respuestar ${\textstyle x}$ viene dada por la regla de Born

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)]}$

$(5)$

y de acuerdo con el postulado de proyección, el estado posterior a la medición se obtiene a través de la transformación de estado:

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{x}={\frac {{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}{Tr{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}}}$

$(6)$

Para comodidad del lector, presentamos estas fórmulas para un estado inicial puro ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$. La regla de Born tiene la forma:

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=||{\widehat {E}}^{A}(x)\psi ||^{2}=<\psi \mid {\widehat {E}}^{A}(x)\psi >}$

$(7)$

La transformación de estado viene dada por el postulado de proyección:

${\textstyle \psi \rightarrow \psi _{x}={\widehat {E}}^{A}(x)\psi /\parallel {\widehat {E}}^{A}(x)\psi \parallel }$

$(8)$

Aquí el operador observable ${\hat {A}}$ (su descomposición espectral) determina de forma única las transformaciones del estado de retroalimentación${\textstyle {\mathcal {\Im }}_{A}(x)}$ para resultados ${\textstyle x}$

${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)\rho ={\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}$

$(9)$

El mapa ${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)}$ dada por (9) es el ejemplo más simple (pero muy importante) de instrumento cuántico.