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Revision as of 20:01, 13 April 2023

3.2. Von Neumann-Formalismus für Quantenobservablen

Im ursprünglichen Quantenformalismus (Von Neumann, 1955) physikalisch beobachtbar $A$ wird durch einen hermiteschen Operator dargestellt ${\hat {A}}$ . Wir betrachten nur Operatoren mit diskreten Spektren: ${\hat {A}}=\sum _{x}x{\hat {E}}^{A}(x)$ Wo ${\hat {E}}^{A}(x)$ ist der Projektor auf den Unterraum von ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ entspricht dem Eigenwert ${\textstyle x}$ . Angenommen, der Zustand des Systems wird mathematisch durch einen Dichteoperator dargestellt ${\textstyle \rho }$ . Dann die Wahrscheinlichkeit, die Antwort zu bekommen ${\textstyle x}$ ist durch die Born-Regel gegeben

{\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)]}

(5)

und nach dem Projektionspostulat erhält man den Zustand nach der Messung über die Zustandstransformation:

{\textstyle \rho \rightarrow \rho _{x}={\frac {{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}{Tr{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}}}

(6)

Der Einfachheit halber präsentieren wir diese Formeln für einen reinen Anfangszustand ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ . Die Bornsche Regel hat die Form:

{\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=||{\widehat {E}}^{A}(x)\psi ||^{2}=<\psi \mid {\widehat {E}}^{A}(x)\psi >}

(7)

Die Zustandstransformation ist durch das Projektionspostulat gegeben:

{\textstyle \psi \rightarrow \psi _{x}={\widehat {E}}^{A}(x)\psi /\parallel {\widehat {E}}^{A}(x)\psi \parallel }

(8)

Hier der Observable-Operator ${\hat {A}}$ (seine spektrale Zerlegung) bestimmt eindeutig die Rückkopplungszustandstransformationen ${\textstyle {\mathcal {\Im }}_{A}(x)}$ für Ergebnisse ${\textstyle x}$

{\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)\rho ={\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}

(9)

The map given by (9) is the simplest (but very important) example of quantum instrument.

Die Karte ${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)}$ gegeben durch (9) ist das einfachste (aber sehr wichtige) Beispiel eines Quanteninstruments.

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-===3.2. Von Neumann formalism for quantum observables===
+===3.2. Von Neumann-Formalismus für Quantenobservablen===
-In the original quantum formalism (Von Neumann, 1955), physical observable <math>A</math> is represented by a Hermitian operator <math>\hat{A}</math> . We consider only operators with discrete spectra:<math>\hat{A}=\sum_x x\hat{E}^A(x)</math> where <math>\hat{E}^A(x)</math> is the projector onto the subspace of <math display="inline">\mathcal{H}</math>  corresponding to the eigenvalue <math display="inline">x</math>. Suppose that system’s state is mathematically represented by a density operator<math display="inline">\rho</math>. Then the probability to get the answer <math display="inline">x</math> is given by the Born rule
+Im ursprünglichen Quantenformalismus (Von Neumann, 1955) physikalisch beobachtbar <math>A</math> wird durch einen hermiteschen Operator dargestellt <math>\hat{A}</math> . Wir betrachten nur Operatoren mit diskreten Spektren: <math>\hat{A}=\sum_x x\hat{E}^A(x)</math> Wo <math>\hat{E}^A(x)</math> ist der Projektor auf den Unterraum von <math display="inline">\mathcal{H}</math> entspricht dem Eigenwert <math display="inline">x</math> . Angenommen, der Zustand des Systems wird mathematisch durch einen Dichteoperator dargestellt <math display="inline">\rho</math>. Dann die Wahrscheinlichkeit, die Antwort zu bekommen <math display="inline">x</math> ist durch die Born-Regel gegeben
 {| width="80%" |
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-and according to the projection postulate the post-measurement state is obtained via the state-transformation:
+und nach dem Projektionspostulat erhält man den Zustand nach der Messung über die Zustandstransformation:
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 | width="33%" align="right" |<math>(6)</math>
 |}
+Der Einfachheit halber präsentieren wir diese Formeln für einen reinen Anfangszustand <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>. Die Bornsche Regel hat die Form:
-For reader’s convenience, we present these formulas for a pure initial state <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>. The Born’s rule has the form:
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-The state transformation is given by the projection postulate:
+Die Zustandstransformation ist durch das Projektionspostulat gegeben:
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-Here the observable-operator <math>\hat{A}</math> (its spectral decomposition) uniquely determines the feedback state transformations  <math display="inline">\mathcal{\Im}_A(x)</math>  for outcomes <math display="inline">x
+Hier der Observable-Operator <math>\hat{A}</math> (seine spektrale Zerlegung) bestimmt eindeutig die Rückkopplungszustandstransformationen <math display="inline">\mathcal{\Im}_A(x)</math>für Ergebnisse <math display="inline">x
 </math>
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-The map <math display="inline">\rho\rightarrow\Im_A(x)</math> given by (9) is the simplest (but very important) example of quantum instrument.
+The map  given by (9) is the simplest (but very important) example of quantum instrument.
+Die Karte <math display="inline">\rho\rightarrow\Im_A(x)</math> gegeben durch (9) ist das einfachste (aber sehr wichtige) Beispiel eines Quanteninstruments.