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(Created page with "== Introduction == The standard mathematical methods were originally developed to serve classical physics. The real analysis served as the mathematical basis of Newtonian mechanics (Newton, 1687)<ref>{{cita libro | autore = Newton Isaac | titolo = Philosophiae naturalis principia mathematica | url = https://archive.org/details/bub_gb_6EqxPav3vIsC | volume = | opera = | anno = 1687 | editore = Benjamin Motte | città = London UK | ISBN = | DOI = | PMID =...")
 
 
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== Introduction ==
== Introduction ==
The standard mathematical methods were originally developed to serve classical physics. The real analysis served as the mathematical basis of Newtonian mechanics (Newton, 1687)<ref>{{cita libro  
Les méthodes mathématiques standard ont été développées à l'origine pour servir la physique classique. L'analyse réelle a servi de base mathématique à la mécanique newtonienne (Newton, 1687)<ref>{{cita libro  
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  }}</ref> (and later Hamiltonian formalism); classical statistical mechanics stimulated the measure-theoretic approach to probability theory, formalized in Kolmogorov’s axiomatics (Kolmogorov, 1933)<ref>Kolmogorov A.N.Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer-Verlag, Berlin (1933)</ref>. However, behavior of biological systems differ essentially from behavior of mechanical systems, say rigid bodies, gas molecules, or fluids. Therefore, although the “classical mathematics” still plays the crucial role in biological modeling, it seems that it cannot fully describe the rich complexity of biosystems and peculiarities of their behavior — as compared with mechanical systems. New mathematical methods for modeling biosystems are on demand.(a,b)
  }}</ref> (et plus tard au formalisme hamiltonien) ; la mécanique statistique classique a stimulé l'approche théorique de la mesure de la théorie des probabilités, formalisée dans l'axiomatique de Kolmogorov (Kolmogorov, 1933).<ref>Kolmogorov A.N.Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer-Verlag, Berlin (1933)</ref> Cependant, le comportement des systèmes biologiques diffère essentiellement du comportement des systèmes mécaniques, par exemple des corps rigides, des molécules de gaz ou des fluides. Par conséquent, bien que les «mathématiques classiques» jouent toujours le rôle crucial dans la modélisation biologique, il semble qu'elles ne puissent pas décrire pleinement la riche complexité des biosystèmes et les particularités de leur comportement - par rapport aux systèmes mécaniques. De nouvelles méthodes mathématiques de modélisation des biosystèmes sont en demande.(a,b)


In this paper, we present the applications of the mathematical formalism of quantum mechanics and its methodology to modeling biosystems’ behavior.(c) The recent years were characterized by explosion of interest to applications of quantum theory outside of physics, especially in cognitive psychology, decision making, information processing in the brain, molecular biology, genetics and epigenetics, and evolution theory.4 We call the corresponding models ''quantum-like''. They are not directed to micro-level modeling of real quantum physical processes in biosystems, say in cells or brains (cf. with biological applications of genuine quantum physical theory Penrose 1989,<ref>Penrose R. The Emperor’S New Mind Oxford Univ. Press, New-York (1989)</ref> Umezawa 1993,<ref>Umezawa H. Advanced Field Theory: Micro, Macro and Thermal Concepts AIP, New York (1993)</ref> Hameroff 1994,<ref>Hameroff S. Quantum coherence in microtubules. a neural basis for emergent con- sciousness? J. Cons. Stud., 1 (1994)</ref> Vitiello 1995,<ref>Vitiello G. Dissipation and memory capacity in the quantum brain model Internat. J. Modern Phys. B, 9 (1995), p. 973</ref> Vitiello 2001,<ref>Vitiello G. My Double Unveiled: The Dissipative Quantum Model of Brain, Advances in Consciousness Research, John Benjamins Publishing Company(2001)</ref> Arndt et al., 2009,<ref>Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400, 10.2976/1.3244985</ref> Bernroider and Summhammer 2012,<ref>Bernroider G., Summhammer J. Can quantum entanglement between ion transition states effect action potential initiation? Cogn. Comput., 4 (2012), pp. 29-37</ref> Bernroider 2017<ref>Bernroider G. Neuroecology: Modeling neural systems and environments, from the quantum to the classical level and the question of consciousness J. Adv. Neurosci. Res., 4 (2017), pp. 1-9</ref>). Quantum-like modeling works from the viewpoint to quantum theory as a measurement theory. This is the original Bohr’s viewpoint that led to ''the Copenhagen interpretation of quantum mechanics'' (see Plotnitsky, 2009<ref>Plotnitsky A. Epistemology and Probability: Bohr, Heisenberg, SchrÖdinger and the Nature of Quantum-Theoretical Thinking Springer, Berlin, Germany; New York, NY, USA (2009</ref> for detailed and clear presentation of Bohr’s views). One of the main bio-specialties is consideration of ''self-measurements that biosystems perform on themselves.'' In our modeling, the ability to perform self-measurements is considered as the basic feature of biological functions (see Section 8.2 and paper Khrennikov et al., 2018<ref name=":0">Khrennikov A., Basieva I., PothosE.M., Yamato I. Quantum Probability in Decision Making from Quantum Information Representation of Neuronal States, Sci. Rep., 8 (2018), Article 16225</ref>).
Dans cet article, nous présentons les applications du formalisme mathématique de la mécanique quantique et de sa méthodologie à la modélisation du comportement des biosystèmes. (c) Les dernières années ont été caractérisées par une explosion d'intérêt pour les applications de la théorie quantique en dehors de la physique, en particulier en psychologie cognitive, la prise de décision, le traitement de l'information dans le cerveau, la biologie moléculaire, la génétique et l'épigénétique, et la théorie de l'évolution.4 Nous appelons les modèles correspondants de type quantique. Ils ne sont pas dirigés vers la modélisation au niveau micro des processus physiques quantiques réels dans les biosystèmes, disons dans les cellules ou les cerveaux (cf. avec les applications biologiques de la théorie physique quantique authentique Penrose 1989,<ref>Penrose R. The Emperor’S New Mind Oxford Univ. Press, New-York (1989)</ref> Umezawa 1993,<ref>Umezawa H. Advanced Field Theory: Micro, Macro and Thermal Concepts AIP, New York (1993)</ref> Hameroff 1994,<ref>Hameroff S. Quantum coherence in microtubules. a neural basis for emergent con- sciousness? J. Cons. Stud., 1 (1994)</ref> Vitiello 1995,<ref>Vitiello G. Dissipation and memory capacity in the quantum brain model Internat. J. Modern Phys. B, 9 (1995), p. 973</ref> Vitiello 2001,<ref>Vitiello G. My Double Unveiled: The Dissipative Quantum Model of Brain, Advances in Consciousness Research, John Benjamins Publishing Company(2001)</ref> Arndt et al., 2009,<ref>Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400, 10.2976/1.3244985</ref> Bernroider et Summhammer 2012,<ref>Bernroider G., Summhammer J. Can quantum entanglement between ion transition states effect action potential initiation? Cogn. Comput., 4 (2012), pp. 29-37</ref> Bernroider 2017<ref>Bernroider G. Neuroecology: Modeling neural systems and environments, from the quantum to the classical level and the question of consciousness J. Adv. Neurosci. Res., 4 (2017), pp. 1-9</ref>). La modélisation de type quantique fonctionne du point de vue de la théorie quantique en tant que théorie de la mesure. C'est le point de vue original de Bohr qui a conduit à l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique (voir Plotnitsky, 2009<ref>Plotnitsky A. Epistemology and Probability: Bohr, Heisenberg, SchrÖdinger and the Nature of Quantum-Theoretical Thinking Springer, Berlin, Germany; New York, NY, USA (2009</ref> pour une présentation détaillée et claire des vues de Bohr). L'une des principales spécialités des biosystèmes est la prise en compte des auto-mesures que les biosystèmes effectuent sur eux-mêmes. Dans notre modélisation, la capacité à effectuer des auto-mesures est considérée comme la caractéristique de base des fonctions biologiques (voir la section 8.2 et l'article de Khrennikov et al., 2018<ref name=":0">Khrennikov A., Basieva I., PothosE.M., Yamato I. Quantum Probability in Decision Making from Quantum Information Representation of Neuronal States, Sci. Rep., 8 (2018), Article 16225</ref>).


''Quantum-like models'' (Khrennikov, 2004b<ref>Khrennikov A. On quantum-like probabilistic structure of mental information Open Syst. Inf. Dyn., 11 (3) (2004), pp. 267-275</ref>) reflect the features of biological processes that naturally match the quantum formalism. In such modeling, it is useful to explore ''quantum information theory,'' which can be applied not just to the micro-world of quantum systems. Generally, systems processing information in the quantum-like manner need not be quantum physical systems; in particular, they can be macroscopic biosystems. Surprisingly, the same mathematical theory can be applied at all biological scales: from proteins, cells and brains to humans and ecosystems; we can speak about ''quantum information biology'' (Asano et al., 2015a<ref name=":1">Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum information biology: from information interpretation of quantum mechanics to applications in molecular biology and cognitive psychology Found. Phys., 45 (10) (2015), pp. 1362-1378</ref>).
Les modèles de type quantique (Khrennikov, 2004b<ref>Khrennikov A. On quantum-like probabilistic structure of mental information Open Syst. Inf. Dyn., 11 (3) (2004), pp. 267-275</ref>) reflètent les caractéristiques des processus biologiques qui correspondent naturellement au formalisme quantique. Dans une telle modélisation, il est utile d'explorer la théorie de l'information quantique, qui peut être appliquée non seulement au micro-monde des systèmes quantiques. Généralement, les systèmes traitant l'information de manière quantique n'ont pas besoin d'être des systèmes physiques quantiques; en particulier, il peut s'agir de biosystèmes macroscopiques. Étonnamment, la même théorie mathématique peut être appliquée à toutes les échelles biologiques : des protéines, des cellules et des cerveaux aux humains et aux écosystèmes ; on peut parler de biologie de l'information quantique (Asano et al., 2015a<ref name=":1">Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum information biology: from information interpretation of quantum mechanics to applications in molecular biology and cognitive psychology Found. Phys., 45 (10) (2015), pp. 1362-1378</ref>).


In quantum-like modeling, quantum theory is considered as calculus for prediction and transformation of probabilities. Quantum probability (QP) calculus (Section 2) differs essentially from classical probability (CP) calculus based on Kolmogorov’s axiomatics (Kolmogorov, 1933<ref name=":2">Kolmogorov A.N. Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer-Verlag, Berlin (1933)</ref>). In CP, states of random systems are represented by probability measures and observables by random variables; in QP, states of random systems are represented by normalized vectors in a complex Hilbert space (pure states) or generally by density operators (mixed states).5 Superpositions represented by pure states are used to model uncertainty which is yet unresolved by a measurement. The use of superpositions in biology is illustrated by Fig. 1 (see Section 10 and paper Khrennikov et al., 2018<ref name=":0" /> for the corresponding model). The QP-update resulting from an observation is based on the projection postulate or more general transformations of quantum states — in the framework of theory of quantum instruments (Davies and Lewis, 1970<ref name=":3">Davies E.B., Lewis J.T. An operational approach to quantum probability Comm. Math. Phys., 17 (1970), pp. 239-260</ref>, Davies, 1976<ref name=":4">Davies E.B. Quantum Theory of Open Systems. Academic Press, London (1976)</ref>, Ozawa, 1984<ref name=":5">Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87</ref>, Yuen, 1987<ref name=":6">Yuen, H. P., 1987. Characterization and realization of general quantum measurements. M. Namiki and others (ed.) Proc. 2nd Int. Symp. Foundations of Quantum Mechanics, pp. 360–363.</ref>, Ozawa, 1997<ref name=":7">Ozawa M. An operational approach to quantum state reduction Ann. Phys., NY, 259 (1997), pp. 121-137</ref>, Ozawa, 2004<ref name=":8">Ozawa M. Uncertainty relations for noise and disturbance in generalized quantum measurements Ann. Phys., NY, 311 (2004), pp. 350-416</ref>, Okamura and Ozawa, 2016<ref name=":9">Okamura K., Ozawa M. Measurement theory in local quantum physics J. Math. Phys., 57 (2016), Article 015209</ref>) (Section 3).
Dans la modélisation de type quantique, la théorie quantique est considérée comme un calcul pour la prédiction et la transformation des probabilités. Le calcul des probabilités quantiques (QP) (Section 2) diffère essentiellement du calcul classique des probabilités (CP) basé sur l'axiomatique de Kolmogorov (Kolmogorov, 1933<ref name=":2">Kolmogorov A.N. Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer-Verlag, Berlin (1933)</ref>). En CP, les états des systèmes aléatoires sont représentés par des mesures de probabilité et les observables par des variables aléatoires ; dans QP, les états de systèmes aléatoires sont représentés par des vecteurs normalisés dans un espace de Hilbert complexe (états purs) ou généralement par des opérateurs de densité (états mixtes)5. Les superpositions représentées par des états purs sont utilisées pour modéliser l'incertitude qui n'est pas encore résolue par une mesure. L'utilisation des superpositions en biologie est illustrée par la Fig. 1 (voir Section 10 et article Khrennikov et al., 2018<ref name=":0" /> pour le modèle correspondant). La mise à jour QP résultant d'une observation est basée sur le postulat de projection ou des transformations plus générales d'états quantiques — dans le cadre de la théorie des instruments quantiques (Davies et Lewis, 1970,<ref name=":3">Davies E.B., Lewis J.T. An operational approach to quantum probability Comm. Math. Phys., 17 (1970), pp. 239-260</ref> Davies, 1976,<ref name=":4">Davies E.B. Quantum Theory of Open Systems. Academic Press, London (1976)</ref> Ozawa 1984,<ref name=":5">Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87</ref> Yuen, 1987,<ref name=":6">Yuen, H. P., 1987. Characterization and realization of general quantum measurements. M. Namiki and others (ed.) Proc. 2nd Int. Symp. Foundations of Quantum Mechanics, pp. 360–363.</ref> Ozawa 1997,<ref name=":7">Ozawa M. An operational approach to quantum state reduction Ann. Phys., NY, 259 (1997), pp. 121-137</ref> Ozawa, 2004,<ref name=":8">Ozawa M. Uncertainty relations for noise and disturbance in generalized quantum measurements Ann. Phys., NY, 311 (2004), pp. 350-416</ref> Okamura et Ozawa, 2016<ref name=":9">Okamura K., Ozawa M. Measurement theory in local quantum physics J. Math. Phys., 57 (2016), Article 015209</ref>) (Section 3).[[File:Schrodinger 1.jpeg|left|thumb|Figure 1. Illustration de la représentation de type quantique de l'incertitude générée par le potentiel d'action du neurone (initialement publiée dans Khrennikov et al. (2018).]]
[[File:Schrodinger 1.jpeg|left|thumb|Fig. 1. Illustration for quantum-like representation of uncertainty generated by neuron’s action potential (originally published in Khrennikov et al. (2018)).]]
Nous soulignons que la modélisation de type quantique élève le rôle de la commodité et de la simplicité de la représentation quantique des états et des observables. (Nous ignorons pragmatiquement le problème de l'interrelation de CP et QP.) En particulier, l'espace d'état quantique a la structure linéaire et les modèles linéaires sont plus simples. La transition de la dynamique non linéaire classique des processus électrochimiques dans les biosystèmes à la dynamique linéaire quantique accélère essentiellement l'évolution de l'état (Section 8.4). Cependant, dans ce cadre, «l'état» est l'état de l'information quantique d'un biosystème utilisé pour le traitement de l'incertitude quantique spéciale (section 8.2).
We stress that quantum-like modeling elevates the role of convenience and simplicity of quantum representation of states and observables. (We pragmatically ignore the problem of interrelation of CP and QP.) In particular, the quantum state space has the linear structure and linear models are simpler. Transition from classical nonlinear dynamics of electrochemical processes in biosystems to quantum linear dynamics essentially speeds up the state-evolution (Section 8.4). However, in this framework “state” is the quantum information state of a biosystem used for processing of special quantum uncertainty (Section 8.2).

Latest revision as of 19:12, 8 April 2023

Introduction

Les méthodes mathématiques standard ont été développées à l'origine pour servir la physique classique. L'analyse réelle a servi de base mathématique à la mécanique newtonienne (Newton, 1687)[1] (et plus tard au formalisme hamiltonien) ; la mécanique statistique classique a stimulé l'approche théorique de la mesure de la théorie des probabilités, formalisée dans l'axiomatique de Kolmogorov (Kolmogorov, 1933).[2] Cependant, le comportement des systèmes biologiques diffère essentiellement du comportement des systèmes mécaniques, par exemple des corps rigides, des molécules de gaz ou des fluides. Par conséquent, bien que les «mathématiques classiques» jouent toujours le rôle crucial dans la modélisation biologique, il semble qu'elles ne puissent pas décrire pleinement la riche complexité des biosystèmes et les particularités de leur comportement - par rapport aux systèmes mécaniques. De nouvelles méthodes mathématiques de modélisation des biosystèmes sont en demande.(a,b)

Dans cet article, nous présentons les applications du formalisme mathématique de la mécanique quantique et de sa méthodologie à la modélisation du comportement des biosystèmes. (c) Les dernières années ont été caractérisées par une explosion d'intérêt pour les applications de la théorie quantique en dehors de la physique, en particulier en psychologie cognitive, la prise de décision, le traitement de l'information dans le cerveau, la biologie moléculaire, la génétique et l'épigénétique, et la théorie de l'évolution.4 Nous appelons les modèles correspondants de type quantique. Ils ne sont pas dirigés vers la modélisation au niveau micro des processus physiques quantiques réels dans les biosystèmes, disons dans les cellules ou les cerveaux (cf. avec les applications biologiques de la théorie physique quantique authentique Penrose 1989,[3] Umezawa 1993,[4] Hameroff 1994,[5] Vitiello 1995,[6] Vitiello 2001,[7] Arndt et al., 2009,[8] Bernroider et Summhammer 2012,[9] Bernroider 2017[10]). La modélisation de type quantique fonctionne du point de vue de la théorie quantique en tant que théorie de la mesure. C'est le point de vue original de Bohr qui a conduit à l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique (voir Plotnitsky, 2009[11] pour une présentation détaillée et claire des vues de Bohr). L'une des principales spécialités des biosystèmes est la prise en compte des auto-mesures que les biosystèmes effectuent sur eux-mêmes. Dans notre modélisation, la capacité à effectuer des auto-mesures est considérée comme la caractéristique de base des fonctions biologiques (voir la section 8.2 et l'article de Khrennikov et al., 2018[12]).

Les modèles de type quantique (Khrennikov, 2004b[13]) reflètent les caractéristiques des processus biologiques qui correspondent naturellement au formalisme quantique. Dans une telle modélisation, il est utile d'explorer la théorie de l'information quantique, qui peut être appliquée non seulement au micro-monde des systèmes quantiques. Généralement, les systèmes traitant l'information de manière quantique n'ont pas besoin d'être des systèmes physiques quantiques; en particulier, il peut s'agir de biosystèmes macroscopiques. Étonnamment, la même théorie mathématique peut être appliquée à toutes les échelles biologiques : des protéines, des cellules et des cerveaux aux humains et aux écosystèmes ; on peut parler de biologie de l'information quantique (Asano et al., 2015a[14]).

Dans la modélisation de type quantique, la théorie quantique est considérée comme un calcul pour la prédiction et la transformation des probabilités. Le calcul des probabilités quantiques (QP) (Section 2) diffère essentiellement du calcul classique des probabilités (CP) basé sur l'axiomatique de Kolmogorov (Kolmogorov, 1933[15]). En CP, les états des systèmes aléatoires sont représentés par des mesures de probabilité et les observables par des variables aléatoires ; dans QP, les états de systèmes aléatoires sont représentés par des vecteurs normalisés dans un espace de Hilbert complexe (états purs) ou généralement par des opérateurs de densité (états mixtes)5. Les superpositions représentées par des états purs sont utilisées pour modéliser l'incertitude qui n'est pas encore résolue par une mesure. L'utilisation des superpositions en biologie est illustrée par la Fig. 1 (voir Section 10 et article Khrennikov et al., 2018[12] pour le modèle correspondant). La mise à jour QP résultant d'une observation est basée sur le postulat de projection ou des transformations plus générales d'états quantiques — dans le cadre de la théorie des instruments quantiques (Davies et Lewis, 1970,[16] Davies, 1976,[17] Ozawa 1984,[18] Yuen, 1987,[19] Ozawa 1997,[20] Ozawa, 2004,[21] Okamura et Ozawa, 2016[22]) (Section 3).

Figure 1. Illustration de la représentation de type quantique de l'incertitude générée par le potentiel d'action du neurone (initialement publiée dans Khrennikov et al. (2018).

Nous soulignons que la modélisation de type quantique élève le rôle de la commodité et de la simplicité de la représentation quantique des états et des observables. (Nous ignorons pragmatiquement le problème de l'interrelation de CP et QP.) En particulier, l'espace d'état quantique a la structure linéaire et les modèles linéaires sont plus simples. La transition de la dynamique non linéaire classique des processus électrochimiques dans les biosystèmes à la dynamique linéaire quantique accélère essentiellement l'évolution de l'état (Section 8.4). Cependant, dans ce cadre, «l'état» est l'état de l'information quantique d'un biosystème utilisé pour le traitement de l'incertitude quantique spéciale (section 8.2).

  1. ↑ Newton Isaac, «Philosophiae naturalis principia mathematica», Benjamin Motte, 1687, London UK». 
  2. ↑ Kolmogorov A.N.Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer-Verlag, Berlin (1933)
  3. ↑ Penrose R. The Emperor’S New Mind Oxford Univ. Press, New-York (1989)
  4. ↑ Umezawa H. Advanced Field Theory: Micro, Macro and Thermal Concepts AIP, New York (1993)
  5. ↑ Hameroff S. Quantum coherence in microtubules. a neural basis for emergent con- sciousness? J. Cons. Stud., 1 (1994)
  6. ↑ Vitiello G. Dissipation and memory capacity in the quantum brain model Internat. J. Modern Phys. B, 9 (1995), p. 973
  7. ↑ Vitiello G. My Double Unveiled: The Dissipative Quantum Model of Brain, Advances in Consciousness Research, John Benjamins Publishing Company(2001)
  8. ↑ Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400, 10.2976/1.3244985
  9. ↑ Bernroider G., Summhammer J. Can quantum entanglement between ion transition states effect action potential initiation? Cogn. Comput., 4 (2012), pp. 29-37
  10. ↑ Bernroider G. Neuroecology: Modeling neural systems and environments, from the quantum to the classical level and the question of consciousness J. Adv. Neurosci. Res., 4 (2017), pp. 1-9
  11. ↑ Plotnitsky A. Epistemology and Probability: Bohr, Heisenberg, SchrÖdinger and the Nature of Quantum-Theoretical Thinking Springer, Berlin, Germany; New York, NY, USA (2009
  12. ↑ 12.0 12.1 Khrennikov A., Basieva I., PothosE.M., Yamato I. Quantum Probability in Decision Making from Quantum Information Representation of Neuronal States, Sci. Rep., 8 (2018), Article 16225
  13. ↑ Khrennikov A. On quantum-like probabilistic structure of mental information Open Syst. Inf. Dyn., 11 (3) (2004), pp. 267-275
  14. ↑ Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum information biology: from information interpretation of quantum mechanics to applications in molecular biology and cognitive psychology Found. Phys., 45 (10) (2015), pp. 1362-1378
  15. ↑ Kolmogorov A.N. Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer-Verlag, Berlin (1933)
  16. ↑ Davies E.B., Lewis J.T. An operational approach to quantum probability Comm. Math. Phys., 17 (1970), pp. 239-260
  17. ↑ Davies E.B. Quantum Theory of Open Systems. Academic Press, London (1976)
  18. ↑ Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87
  19. ↑ Yuen, H. P., 1987. Characterization and realization of general quantum measurements. M. Namiki and others (ed.) Proc. 2nd Int. Symp. Foundations of Quantum Mechanics, pp. 360–363.
  20. ↑ Ozawa M. An operational approach to quantum state reduction Ann. Phys., NY, 259 (1997), pp. 121-137
  21. ↑ Ozawa M. Uncertainty relations for noise and disturbance in generalized quantum measurements Ann. Phys., NY, 311 (2004), pp. 350-416
  22. ↑ Okamura K., Ozawa M. Measurement theory in local quantum physics J. Math. Phys., 57 (2016), Article 015209
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