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4. Strumenti quantistici dallo schema delle misurazioni indirette

Il modello base per la costruzione di strumenti quantistici si basa sullo schema delle misurazioni indirette. Questo schema formalizza la seguente situazione: gli output della misurazione sono generati tramite l'interazione di un sistema $S$ con un apparato di misurazione $M$ . Questo apparato è costituito da un dispositivo fisico complesso che interagisce con $S$ e da un puntatore che mostra il risultato della misurazione, diciamo spin up o spin down. Un osservatore può vedere solo gli output del puntatore e associa questi output ai valori dell'osservabile $A$ per il sistema $S$ . Pertanto, lo schema di misurazione indiretta prevede:

gli stati dei sistemi $S$ e dell'apparato $M$
l'operatore $U$ che presenta le dinamiche di interazione per il sistema $S+M$
il misuratore osservabile $M_{A}$ che fornisce le uscite del puntatore dell'apparato $M$

Un modello di misurazione indiretta, introdotto in Ozawa (1984)^[1] come un "processo di misurazione (generale)", è uno quadrupla $(H,\sigma ,U,M_{A})$ costituito da uno spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ , un operatore di densità $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ , un operatore unitario $U$ sul prodotto tensoriale degli spazi di stato di $S$ e $M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ e un operatore Hermitiano $M_{A}$ su ${\mathcal {H}}$ . Con questo modello di misurazione, lo spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ descrive gli stati dell'apparato $M$ , l'operatore unitario $U$ descrive l'evoluzione nel tempo del sistema composito $S+M$ , l'operatore di densità $\sigma$ descrive lo stato iniziale dell'apparato $M$ e l'operatore Hermitiano $M_{A}$ descrive il contatore osservabile dell'apparato $M$ . Quindi, la distribuzione di probabilità di uscita $Pr\{A=x\|\sigma \}$ nello stato del sistema $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ è data da

Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]

(18)

dove $E^{M_{A}}(x)$ è la proiezione spettrale di $M_{A}$ per l'autovalore $x$ .

Il cambiamento dello stato $\sigma$ del sistema $S$ causato dalla misurazione per l'esito $A=x$ è rappresentato con l'ausilio della mappa $\Im _{A}(x)$ nello spazio degli operatori di densità definiti come

{\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]

(19)

dove $Tr_{\mathcal {H}}$ è la traccia parziale su ${\mathcal {H}}$ . Quindi, la mappa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ risulta essere uno strumento quantistico. Pertanto, le proprietà statistiche della misurazione realizzata da qualsiasi modello di misurazione indiretta $(H,\sigma ,U,M_{A})$ sono descritte da una misurazione quantistica. Osserviamo che viceversa qualsiasi strumento quantistico può essere rappresentato tramite il modello di misura indiretta (Ozawa, 1984).^[2] Pertanto, gli strumenti quantistici caratterizzano matematicamente le proprietà statistiche di tutte le misurazioni quantistiche realizzabili fisicamente.

↑ Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar
↑ Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar

[1] Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar

[2] Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar

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-==4. Quantum instruments from the scheme of indirect measurements==
+==4. Strumenti quantistici dallo schema delle misurazioni indirette==
-The basic model for construction of quantum instruments is based on the scheme of indirect measurements. This scheme formalizes the following situation: measurement’s outputs are generated via interaction of a system <math>S</math> with a measurement apparatus <math>M</math> . This apparatus consists of a complex physical device interacting with <math>S</math> and a pointer that shows the result of measurement, say spin up or spin down. An observer can see only outputs of the pointer and he associates these outputs with the values of the observable <math>A</math> for the system <math>S</math>. Thus, the indirect measurement scheme involves:
+Il modello base per la costruzione di strumenti quantistici si basa sullo schema delle misurazioni indirette. Questo schema formalizza la seguente situazione: gli output della misurazione sono generati tramite l'interazione di un sistema <math>S</math> con un apparato di misurazione <math>M</math>. Questo apparato è costituito da un dispositivo fisico complesso che interagisce con <math>S</math> e da un puntatore che mostra il risultato della misurazione, diciamo spin up o spin down. Un osservatore può vedere solo gli output del puntatore e associa questi output ai valori dell'osservabile <math>A</math> per il sistema <math>S</math>. Pertanto, lo schema di misurazione indiretta prevede:
-# the states of the systems <math>S</math> and the apparatus <math>M</math>
+# gli stati dei sistemi <math>S</math> e dell'apparato <math>M</math>
-# the operator  <math>U</math> representing the interaction-dynamics for the system <math>S+M</math>
+# l'operatore  <math>U</math> che presenta le dinamiche di interazione per il sistema <math>S+M</math>
-# the meter observable <math>M_A</math> giving outputs of the pointer of the apparatus <math>M</math>.
+# il misuratore osservabile <math>M_A</math> che fornisce le uscite del puntatore dell'apparato <math>M</math>
-An ''indirect measurement model'', introduced in Ozawa (1984) as a “(general) measuring process”, is a quadruple
-<math>(H,\sigma,U,M_A)</math>
-consisting of a Hilbert space <math>\mathcal{H}</math> , a density operator <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>, a unitary operator  <math>U</math> on the tensor product of the state spaces of  <math>S</math> and<math>M,U:\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}\otimes\mathcal{H}</math> and a Hermitian operator <math>M_A</math> on <math>\mathcal{H}</math> . By this measurement model, the Hilbert space <math>\mathcal{H}</math> describes the states of the apparatus <math>M</math>, the unitary operator <math>U</math> describes the time-evolution of the composite system <math>S+M</math>, the density operator <math>\sigma</math> describes the initial state of the apparatus <math>M</math> , and the Hermitian operator <math>M_A</math> describes the meter observable of the apparatus <math>M</math>. Then, the output probability distribution <math>Pr\{A=x\|\sigma\}</math> in the system state <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math> is given by
+Un ''modello di misurazione indiretta'', introdotto in Ozawa (1984)<ref>Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar</ref> come un "processo di misurazione (generale)", è uno quadrupla <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> costituito da uno spazio di Hilbert <math>\mathcal{H}</math>, un operatore di densità <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>, un operatore unitario  <math>U</math> sul prodotto tensoriale degli spazi di stato di <math>S</math> e<math>M,U:\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}\otimes\mathcal{H}</math> e un operatore Hermitiano <math>M_A</math> su <math>\mathcal{H}</math>. Con questo modello di misurazione, lo spazio di Hilbert <math>\mathcal{H}</math> descrive gli stati dell'apparato <math>M</math>, l'operatore unitario <math>U</math> descrive l'evoluzione nel tempo del sistema composito <math>S+M</math>, l'operatore di densità <math>\sigma</math> descrive lo stato iniziale dell'apparato <math>M</math> e l'operatore Hermitiano <math>M_A</math> descrive il contatore osservabile dell'apparato <math>M</math>. Quindi, la distribuzione di probabilità di uscita <math>Pr\{A=x\|\sigma\}</math> nello stato del sistema <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math> è data da
 {| width="80%" |
 |-
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 |}
-where <math>E^{M_{A}}(x)</math> is the spectral projection of <math>M_A</math> for the eigenvalue <math>x</math>.
+dove <math>E^{M_{A}}(x)</math> è la proiezione spettrale di <math>M_A</math> per l'autovalore <math>x</math>.
-The change of the state <math>\sigma</math> of the system <math>S</math> caused by the measurement for the outcome  <math>A=x</math> is represented with the aid of the map <math>\Im_A(x)</math> in the space of density operators defined as
+Il cambiamento dello stato <math>\sigma</math> del sistema <math>S</math> causato dalla misurazione per l'esito <math>A=x</math> è rappresentato con l'ausilio della mappa <math>\Im_A(x)</math> nello spazio degli operatori di densità definiti come
 {| width="80%" |
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-where <math>Tr_\mathcal{H}</math> is the partial trace over <math>\mathcal{H}</math> . Then, the map  <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math>turn out to be a quantum instrument. Thus, the statistical properties of the measurement realized by any indirect measurement model <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> is described by a quantum measurement. We remark that conversely any quantum instrument can be represented via the indirect measurement model (Ozawa, 1984). Thus, quantum instruments mathematically characterize the statistical properties of all the physically realizable quantum measurements.
+dove <math>Tr_\mathcal{H}</math> è la traccia parziale su <math>\mathcal{H}</math>. Quindi, la mappa <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> risulta essere uno strumento quantistico. Pertanto, le proprietà statistiche della misurazione realizzata da qualsiasi modello di misurazione indiretta <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> sono descritte da una misurazione quantistica. Osserviamo che viceversa qualsiasi strumento quantistico può essere rappresentato tramite il modello di misura indiretta (Ozawa, 1984).<ref>Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar</ref> Pertanto, gli strumenti quantistici caratterizzano matematicamente le proprietà statistiche di tutte le misurazioni quantistiche realizzabili fisicamente.