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11.Zusammengesetzte Biosysteme

11.1. Verschränkung von Informationszuständen von Biosystemen

Der Zustandsraum ${\mathcal {H}}$ des Biosystems $S$ bestehend aus den Subsystemen $S_{j},j=1,2,....n$, ist das Tensorprodukt der Zustandsräume von Subsystemen ${\mathcal {H}}_{j}$ ,So

*

$\Im =\Im _{1}\otimes ....\otimes \Im _{n}$

$(31)$

Der einfachste Weg, sich diesen Zustandsraum vorzustellen, besteht darin, seine Koordinatendarstellung in Bezug auf eine Basis zu betrachten, die mit Basen konstruiert wurde ${\mathcal {H}}_{j}$.Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall von Qubit-Zustandsräumen${\mathcal {H}}_{j}$ lassen $|\alpha \rangle$, $|\alpha \rangle =0,1$, sei eine orthonormale Basis in ${\mathcal {H}}_{j}$,d.h. Elemente dieses Raumes sind Linearkombinationen der Form $|\psi _{j}\rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle$. (Um ganz formal zu sein, müssen wir Basisvektoren mit dem Index kennzeichnen $j$, d.h.,$|\alpha \rangle \equiv |\alpha \rangle _{j}$. Aber wir werden das weglassen.) Dann Vektoren $|\alpha _{1}.....\alpha _{n}\rangle \equiv |\alpha _{1}\rangle \otimes ....\otimes |\alpha _{n}\rangle$bilden die orthonormale Basis in ${\mathcal {H}}$,d.h. irgendein Zustand  $|{\mathcal {\Psi }}\in {\mathcal {H}}$ können im Formular dargestellt werden

$|\psi \rangle =\sum _{\alpha _{j}=0,1}C_{(}\alpha _{1)}....\alpha _{n}|\alpha _{1}....\alpha _{n}\rangle$

$(32)$

und die komplexen Koordinaten $C_{\alpha _{1}.....\alpha _{n}}$ sind normalisiert: $\sum |C_{\alpha _{1}.....\alpha _{n}}|^{2}=1$. Zum Beispiel, wenn $n=2$, wir können den Staat betrachten

$|\Psi \rangle =(|00\rangle +|11\rangle )/{\sqrt {2}}$

$(33)$

Dies ist ein Beispiel für einen verschränkten Zustand, d. h. einen Zustand, der nicht in das Tensorprodukt der Zustände der Subsysteme zerlegt werden kann. Ein Beispiel für einen unverschränkten Zustand (bis zur Normalisierung) ist gegeben durch

$|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|1\rangle +|0\rangle )$

Verschränkte Zustände sind grundlegende Zustände für Quantencomputer, die die Untrennbarkeit von Zuständen untersuchen. Das Einwirken auf ein konkretes Qubit ändert den gesamten Zustand. Bei einem trennbaren Zustand ändern wir beispielsweise durch Transformieren des ersten Qubits nur den Zustand des Systems $S_{1}$ .Diese Möglichkeit, den sehr komplexen Zustand eines zusammengesetzten Systems durch Änderung des lokalen Zustands eines Teilsystems zu ändern, wird als Wurzel der Überlegenheit der Quantencomputer gegenüber der klassischen angesehen. Wir bemerken, dass die Dimension des Tensorprodukt-Zustandsraums sehr groß ist, sie ist gleich $2^{n}$ für $n$ Qubit-Subsysteme. In der Quantenphysik wird diese Möglichkeit, mit dem zusammengesetzten Zustand (der die große Dimension haben kann) zu manipulieren, typischerweise mit „Quanten-Nichtlokalität“ und gespenstischer Fernwirkung in Verbindung gebracht. Aber auch in der Quantenphysik ist diese nichtlokale Interpretation die Quelle ständiger Debatten []. Insbesondere in der jüngsten Schriftenreihe [] wurde gezeigt, dass es möglich ist, ohne Bezugnahme auf die Quanten-Nichtlokalität vorzugehen, und dass die Quantenmechanik als die lokale physikalische Theorie interpretiert werden kann. Die lokale Sichtweise auf die Quantentheorie ist für biologische Anwendungen natürlicher.13 Für Biosysteme ist spukhafte Fernwirkung wirklich mysteriös; für den Menschen entspricht es der Akzeptanz parapsychologischer Phänomene.

Wie kann man die Erzeugung der Zustandstransformation des zusammengesetzten Systems erklären? $S$ B. durch „lokale Transformation“ des Zustands seines Subsystems $S_{1}$? Die Schlüsselrolle spielen dabei Korrelationen, die in verschränkten Zuständen symbolisch kodiert sind. Betrachten Sie zum Beispiel das zusammengesetzte System $S=(S_{1},S_{2})$ im Staat $|\Psi \rangle$ gegeben durch (33). Betrachten Sie die Observablen vom Projektionstyp $A_{j}$ An $A_{j}$dargestellt durch hermitesche Operatoren ${\widehat {A}}_{j}$ mit Eigenvektoren $|0\rangle$,$|1\rangle$(in Qubit-Räumen ${\mathcal {H}}_{j}$). Messung von sagen $A_{1}$ mit der Ausgabe $A_{1}=\alpha$ induziert die Zustandsprojektion auf den Vektor $|\alpha \alpha \rangle$.

Daher Messung von $A_{2}$ erzeugt automatisch die Ausgabe $A_{2}=\alpha$. Also der Staat  $|\Psi \rangle$ codiert die genauen Korrelationen für diese beiden Observablen. Ebenso der Staat

$|\Psi \rangle =(|10\rangle +|01\rangle )/{\sqrt {2}}$

$(34)$

kodiert Zusammenhänge $A_{1}=\alpha$, $A_{2}=\alpha$ (Mod 2).

„Ein verschränkter Zustand liefert also die symbolische Darstellung von Korrelationen zwischen Zuständen der Subsysteme eines zusammengesetzten Biosystems“.

Die Theorie offener Quantensysteme arbeitet mit gemischten Zuständen, die durch Dichteoperatoren beschrieben werden. Und bevor wir uns der Modellierung biologischer Funktionen für zusammengesetzte Systeme zuwenden, definieren wir Verschränkung für gemischte Zustände. Betrachten Sie den Fall des Tensorprodukts zweier Hilbert-Räume, dh des Systems $S$ ist eine Verbindung aus zwei Teilsystemen $S_{1}$ und $S_{2}$. Ein gemischter Zustand von $S$ gegeben von ${\widehat {\rho }}$heißt separabel, wenn es sich als konvexe Kombination von Produktzuständen darstellen lässt ${\widehat {\rho }}=\sum _{k}p_{k}{\widehat {\rho }}_{1k}\otimes {\widehat {\rho }}_{2k}$, wo ${\widehat {\rho }}ik$, $i=1,2$,sind der Dichteoperator des Subsystems $S_{i}$ of $S$.Nicht trennbare Zustände heißen verschränkt. Sie repräsentieren symbolisch Zusammenhänge zwischen Subsystemen.

Die Quantendynamik beschreibt die Evolution dieser Korrelationen. Im Rahmen der Dynamik offener Systeme nähert sich eine biologische Funktion über den Prozess der Dekohärenz dem stationären Zustand. Wie in Abschnitt 8.3 diskutiert wurde, löst diese Dynamik Ungewissheiten auf, die ursprünglich im Zustand eines Biosystems vorhanden waren; Gleichzeitig wäscht es auch die Korrelationen aus: den stationären Zustand, der in der Basis diagonal ist $\{|\alpha _{1}....\alpha _{2}\rangle \}$ist trennbar (entwirrt). Im Prozess der Zustandsentwicklung spielen jedoch Korrelationen zwischen Subsystemen (Verschränkung) die entscheidende Rolle. Ihre Anwesenheit führt zu Zustandsänderungen des zusammengesetzten Systems  $S$über „lokale Transformationen“ der Zustände seiner Subsysteme. Eine solche korrelierte Dynamik des globalen Informationszustands spiegelt die Konsistenz der Transformationen der Zustände von Subsystemen wider.

Da der quantenähnliche Ansatz auf der Quanteninformationsdarstellung von Systemzuständen basiert, können wir die physische Raumposition von Biosystemen vergessen und im Informationsraum arbeiten, der durch den komplexen Hilbert-Raum gegeben ist ${\mathcal {H}}$. In diesem Raum können wir den Begriff der Lokalität basierend auf der Fixed-Tensor-Product-Zerlegung (31) einführen. Operationen in ihren Komponenten ${\mathcal {H}}_{j}$wir können lokal anrufen (im Informationsraum). Aber sie induzieren eine „informationell nicht-lokale“ Evolution des Zustands des zusammengesetzten Systems.

11.2. Verschränkung von Epimutationen von Genen

Nun kommen wir auf das in Abschnitt 9 vorgestellte Modell zurück und betrachten den Informationszustand des Epigenoms der Zelle, das potenzielle Epimutationen des Chromatin-Markierungstyps exprimiert. Lassen Sie das Genom der Zelle bestehen aus $m$ Gene $g_{1},....,g_{m}$. Für jedes Gen $g$, Betrachten Sie alle möglichen Epimutationen und zählen Sie sie auf: $j_{g}=1,......k_{g}$.Der Zustand aller potenziellen Epimutationen im Gen $g$ wird als Überlagerung dargestellt

$|\psi _{g}\rangle =\sum _{j_{g}}c_{j_{g})}|j_{g}\rangle$

$(35)$

Im Idealfall – Epimutationen der Gene sind unabhängig – wird der Zustand des Epigenoms der Zelle mathematisch durch das Tensorprodukt der Zustände beschrieben $|\psi _{g}\rangle$:

$|\psi _{epi}\rangle =|\psi _{g_{1}}\rangle \otimes ....\otimes |\psi _{g_{m}}\rangle$

$(36)$

In einem lebenden Biosystem sind jedoch die meisten Gene und Proteine korreliert und bilden ein großes Netzwerksystem. Daher wirkt sich eine Epimutation auf andere Gene aus. Im Rahmen der Quanteninformation wird diese Situation durch verschränkte Zustände beschrieben:

$|\psi _{epi}\rangle =\sum _{j_{g_{1}....{j_{g_{m}}}}}C_{j_{g_{1}....{j_{g_{m}}}}}|j_{g_{1}}...j_{g_{m}}\rangle$

$(37)$

Diese Form der Darstellung potenzieller Epimutationen im Genom einer Zelle impliziert, dass Epimutationen in einem Gen mit Epimutationen in anderen Genen übereinstimmen. Wenn der Zustand verstrickt (nicht faktorisiert) ist, dann durch Einwirkung, d.h. durch Veränderung der Umwelt, sagen wir auf ein Gen $g_{1}$, und indem sie eine Epimutation darin induziert, kann die Zelle konsistente Epimutationen in anderen Genen „induzieren“.

Die Linearität der Quanteninformationsdarstellung der biophysikalischen Prozesse in einer Zelle induziert die lineare Zustandsdynamik. Dies macht die epigenetische Evolution sehr schnell; die nicht-diagonalen Elemente der Dichtematrix nehmen exponentiell schnell ab. Somit rechtfertigt unser quantenähnliches Modell die hohe Geschwindigkeit der epigenetischen Evolution. Wenn es allein auf der biophysikalischen Darstellung mit nichtlinearer Zustandsdynamik basieren würde, wäre es wesentlich langsamer.

Die Modellierung auf der Grundlage der Theorie offener Systeme führt zu einer Neubetrachtung der Wechselbeziehung zwischen dem Darwinschen und dem Lamarckschen Standpunkt zur Evolution. Hier haben wir uns auf Epimutationen konzentriert, aber genauso können wir Mutationen modellieren (Asano et al., 2015b).