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Modello

Ciascuno degli elettrodi $j$ è descritto da una coppia ordinata $x_{j},y_{j},z_{j}$ nello spazio tridimensionale. Per completare questa analisi, gli elettrodi sono stati prima proiettati sul piano $x,y$, rimuovendo la profondità della testa. La figura 1A mostra le posizioni di ciascun elettrodo in questo spazio $2D$. A seguito di questa proiezione, gli andamenti temporali per ciascuno dei 92 elettrodi sono stati trasformate di Hilbert e quindi normalizzati secondo la procedura elencata utilizzando l'Eq. (2). Una probabilità è stata definita in questo spazio di posizione degli elettrodi come il quadrato dell'andamento temporale della trasformata di Hilbert (Eq. 3), analogo alle funzioni d'onda della meccanica quantistica. Otto regioni (L/R anteriore, L/R posteriore, L/R parietale, L/R occipitale) sono state quindi definite raggruppando i 92 elettrodi e le frequenze di ingresso in ciascuna regione fG sono state ottenute sommando le probabilità degli elettrodi all'interno del gruppo, poi integrandosi nel tempo.

$Prob_{G}(t)=\sum _{j=1}^{92}\Psi _{k}^{*}(t)\times \Psi _{k}(t);f_{G}={\tfrac {1}{T}}\sum _{j=1}^{T}Prob_{G}(t)$

$(6)$

dove ciascuno degli otto gruppi indicati dal pedice ha un numero diverso di elettrodi costituenti N. Nell'occipite sinistro e destro ci sono 10 elettrodi ciascuno, nel parietale sinistro e destro ci sono 17 elettrodi ciascuno, nel posteriore sinistro e destro ci sono rispettivamente 10 e 11 elettrodi, e nella parte anteriore sinistra e destra ci sono rispettivamente 8 e 9 elettrodi.

Dopo aver ottenuto le frequenze a livello di gruppo, i valori medi per posizione e quantità di moto sono stati calcolati utilizzando le equazioni. (4) e (5) (con espressioni identiche per $y$). Infine, per accertare il nostro analogo principio di indeterminazione, abbiamo cercato espressioni della forma

$\bigtriangleup x={\sqrt {\langle x^{2}(t)\rangle -\langle x(t)\rangle ^{2}}};\bigtriangleup p_{x}={\sqrt {\langle p_{x}^{2}(t)\rangle -\langle p_{x}(t)\rangle ^{2}}}$

$(7)$

L'espressione for può essere prontamente applicata alle probabilità e posizioni come sopra definite, risultando nel primo termine dato da

$\langle x^{2}(t)\rangle =\sum _{j=1}^{92}P_{j}(t)x_{j}^{2}$

$(8)$

E il secondo termine dato dal quadrato dell'Eq. (4). Il secondo termine di $\Delta P_{x}$ è dato dal quadrato dell'Eq. (5), ma il primo termine è più sfumato. Ciò è dovuto al numero complesso restituito quando si agisce due volte sull'operatore derivato sulla probabilità. Per ovviare a questo, le trasformate di Fourier sono state utilizzate per cambiare l'Eq. (5) nella base della quantità di moto che ha quindi consentito il calcolo efficiente di $P_{x}^{2}(t)$.

Indicando 0 come la probabilità dello spazio di moto ottenuta attraverso una trasformata di Fourier bidimensionale e non uniforme della pseudo-funzione d'onda dello spazio delle posizioni, l'Eq. (5) può essere riscritto come,

Indicando ${\tilde {P}}_{j}(t)$ come la probabilità dello spazio di moto ottenuta attraverso una trasformata di Fourier bidimensionale e non uniforme della pseudo-funzione d'onda dello spazio delle posizioni, l'Eq. (5) può essere riscritto come,

$\langle p_{x}(t)\rangle =\sum _{j=1}^{92}{\tilde {P}}_{j}(t)p_{j}$

$(9)$

Portando al primo termine nell'espressione da scrivere come,

$\langle p_{x}^{2}(t)\rangle =m^{2}\sum _{j=1}^{92}{\tfrac {x_{j}^{2}}{{\tilde {p}}_{j}(t)}}[{d \over dt}P_{j}(t)]^{2}$

$(10)$

Il wrapper Python FINUFFT è stato utilizzato per prendere la trasformata di Fourier utilizzando un tipo 3, 2d FFT non uniforme, ed è stato trovato il valore minimo nel tempo della relazione di incertezza. I punti nello spazio della quantità di moto sono stati campionati su $p_{x}\in [-4,4]$ e $p_{y}\in [-4,5]$ insieme ai due punti aggiuntivi ($[-5,-4]$) e ($[-4,-5]$)

La figura 4 mostra rispettivamente le probabilità di posizione e quantità di moto nella loro base. Un'animazione che mostra come questi si evolvono nel tempo per le diverse condizioni è presentata nel materiale supplementare 2.

Figure 4: (A) Probability distribution for a single subject in the position basis. (B) Momentum basis probability distribution for a single subject. The momentum values used for the Fourier transform are indicated by the point locations. Points are colour-/size-coded to represent the probability value at that location.

Per calcolare i valori riportati nella tabella 2, è stato trovato il valore corrispondente per ciascun soggetto e questi sono stati utilizzati per calcolare la media di gruppo qui riportata.

Supplementary Information

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