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== Conclusione Integrata: Il Peso dei Condili e il Ruolo dei Tracciati Occlusali ==
== Discussione e Conclusioni ==


L’analisi delle traiettorie mandibolari evidenzia una complessa interazione tra movimenti lineari e angolari. Questi movimenti, rilevati nei punti chiave della mandibola, riflettono l'equilibrio tra stabilità e adattabilità dinamica durante la funzione masticatoria. La combinazione dei pesi lineari e angolari offre una visione integrata del contributo relativo di ogni punto articolare, fornendo una base interpretativa robusta per il bilanciamento occlusale. 
===Discussione sulla Rototraslazione Condilare e Tracciati Masticatori===


=== Tabella Riassuntiva dei Pesi === 
La cinematica mandibolare è il risultato della complessa interazione tra i movimenti dei condili e i tracciati occlusali dei denti, analizzabili tramite i dati geometrici e cinematici. Ogni punto del sistema mandibolare (condili, molari, incisivi) segue traiettorie specifiche che riflettono la dinamica articolare e la relazione occlusale. L'obiettivo di questa discussione è fornire al lettore una comprensione delle correlazioni tra i tracciati condilari e dentali, nonché delle implicazioni cliniche.


{| class="wikitable" 
'''Relazione tra Condilo Laterotrusivo e Tracciati Occlusali'''
|+ **Contributo Lineare e Angolare ai Tracciati Occlusali** 
|-
! Area Analizzata !! Distanza (mm) !! Angolo Calcolato (°) !! Reciproco (°) !! Peso Lineare (%) !! Peso Angolare (%) !! Peso Combinato (%) 
|-
| Condilo Laterotrusivo || 3.16 || 33.57 || 146.43 || 7.8 || 16.7 || 12.3 
|-
| Molare Laterotrusivo || 9.10 || 72.80 || 107.20 || 22.4 || 12.2 || 17.3 
|-
| Incisivo || 13.84 || 82.00 || 98.00 || 34.1 || 11.2 || 22.7 
|-
| Molare Mediotrusivo || 8.99 || 91.33 || 88.67 || 22.1 || 10.1 || 16.1 
|-
| Condilo Mediotrusivo || 6.25 || 166.00 || 14.00 || 15.4 || 49.8 || 32.6 
|} 


=== Metodo di Calcolo dei Pesi === 
Il condilo laterotrusivo rappresenta il lato lavorante e segue un tracciato combinato di rotazione e traslazione laterale. Le distanze e gli angoli calcolati (es. movimento di Bennett, distanza <math>1L_c-7L_c </math> pari a <math>0.898 \, \text{mm}</math>) dimostrano che il condilo cambia direzione durante il movimento masticatorio, invertendo il moto da protrusivo a retrusivo. Questo cambio di direzione corrisponde a una "inversione" dei tracciati occlusali, visibile anche nel molare ipsilaterale e negli incisivi.


Il peso combinato tiene conto di due parametri fondamentali:  
La figura e la tabella associata dimostrano che i tracciati del condilo laterotrusivo influenzano la distribuzione delle forze occlusali. Ad esempio, il punto estremo del condilo (<math>7L_c</math>) rappresenta un'importante transizione biomeccanica, che può essere utilizzata clinicamente per valutare la stabilità articolare e la simmetria funzionale.Si tenga conto che una pposizione di massima retrusione masticatoria è generata quasi esclusivamente dal muscolo temporale che ha una funzione di chiusura, lateralizzazione e retrusione mandibolare. In sostanza più si masticano cibo du elevata durezza più si sposta posteriormente e la chiusura masticatoria diventa lateroretrusiva.<ref>A Grigoriadis 1, R S Johansson, M Trulsson. Temporal profile and amplitude of human masseter muscle activity is adapted to food properties during individual chewing cycles.J Oral Rehabil. 2014 May;41(5):367-73.doi: 10.1111/joor.12155. Epub 2014 Mar 10.


# Peso Lineare: Determinato dalla distanza percorsa dal punto analizzato rispetto al punto di riferimento (solitamente <math>P_1</math>).
</ref><ref>Tomohiro Ishii, Noriyuki Narita, Hiroshi Endo, Masanobu Wakami, Masakazu Okubo, Takeshi Uchida, Ikuo Kantake, Koh Shibutani. Coordinated features in jaw and neck muscle activities induced by chewing of soft and hard gum in healthy subjects. Clin Exp Dent Res. . 2021 Oct;7(5):868-876. doi: 10.1002/cre2.413. Epub 2021 Mar 9.
# Peso Angolare: Calcolato come la normalizzazione dell'angolo reciproco rispetto alla somma di tutti i reciproci degli angoli analizzati.


I pesi relativi sono ottenuti mediante la seguente procedura:  
</ref><ref>K Takada, S Miyawaki, M Tatsuta.The effects of food consistency on jaw movement and posterior temporalis and inferior orbicularis oris muscle activities during chewing in children. Arch Oral Biol.1994 Sep;39(9):793-805.doi: 10.1016/0003-9969(94)90009-4.


Peso Lineare Normalizzato: 
</ref>


<math>P_L = \frac{\text{Distanza del punto}}{\text{Somma di tutte le distanze}}</math>.   
'''Dinamica dei Molari Ipsilaterali'''


Peso Angolare Normalizzato: 
I molari ipsilaterali al condilo laterotrusivo seguono un tracciato coerente con il moto condilare, ma la loro traiettoria riflette una maggiore interazione con i punti di contatto occlusali. Come evidenziato nella Tabella 2, i molari mostrano un graduale spostamento laterale con una successiva medializzazione nel punto <math>7L_m</math>, in cui si osserva un angolo di circa <math>73^\circ</math>.


<math>P_A = \frac{\text{Reciproco dell'angolo del punto}}{\text{Somma di tutti i reciproci degli angoli}}</math>. 
'''Analisi degli Incisivi e la Transizione Occlusale'''


Peso Combinato: 
Gli incisivi laterotrusivi presentano tracciati che combinano retrusione e lateralizzazione. La distanza <math>1I-7I</math> di <math>5.12 \, \text{mm}</math> con un angolo <math>\theta \approx 85.1^\circ</math> sottolinea una progressiva convergenza verso la massima intercuspidazione. Clinicamente, ciò suggerisce che gli incisivi lavorano come guida durante i movimenti laterali, trasferendo il carico occlusale ai molari mediotrusivi.


<math>P_C = 0.5 \cdot P_L + 0.5 \cdot P_A</math>, per dare, in questo contesto,  pari importanza alle componenti lineari e angolari. 
'''Correlazione con il Condilo Mediotrusivo'''


=== Considerazioni Finali ===  
Il condilo mediotrusivo, che rappresenta il lato bilanciante, segue un tracciato con una combinazione di traslazione mediale e rotazione limitata. La distanza <math>1M_c-7M_c </math> di <math>2.61 \, \text{mm}</math> e un angolo <math>\theta \approx166^\circ </math> evidenziano un movimento più controllato rispetto al condilo laterotrusivo. Questa traiettoria è strettamente correlata con i tracciati del molare mediotrusivo, che seguono una direzione prevalentemente medializzante.


Condilo Laterotrusivo (Lavorante)** 
La dinamica del molare mediotrusivo, come mostrato nella Tabella 4, rivela un'inversione della direzione al punto <math>6M_m</math>, evidenziando una transizione critica per il bilanciamento delle forze masticatorie. Questo comportamento si collega direttamente al ruolo del condilo mediotrusivo nel controllo della traiettoria occlusale e della stabilità articolare.
Con una distanza percorsa relativamente ridotta (3.16 mm) e un angolo di 33.57° (reciproco di 146.43°), il condilo laterotrusivo evidenzia un peso combinato del 12.3%. Questo sottolinea il suo ruolo stabilizzatore durante i movimenti laterali, caratterizzato da un'azione vincolata e guidata sul lato lavorante.


Molare Laterotrusivo:  La distanza di 9.10 mm e l’angolo di 72.80° (reciproco di 107.20°) assegnano al molare laterotrusivo un peso combinato del 17.3%. Questo riflette la sua rilevanza nel definire i tracciati occlusali laterali, in stretta interazione con il condilo lavorante.  Incisivo: Con la maggiore distanza percorsa (13.84 mm) e un angolo di 82.00° (reciproco di 98.00°), l'incisivo presenta il peso combinato più alto tra i denti (22.7%). Questo conferma il suo ruolo dominante nel bilanciare i movimenti mandibolari anteriori e laterali. Molare Mediotrusivo (Controlaterale): Il molare mediotrusivo, con una distanza di 8.99 mm e un angolo di 91.33° (reciproco di 88.67°), ha un peso combinato del 16.1%. Questo dimostra la sua funzione di supporto nella distribuzione delle forze laterali e nella stabilizzazione della traiettoria masticatoria. Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante): Nonostante la distanza ridotta (6.25 mm), il condilo mediotrusivo presenta il comportamento angolare più marcato (166.00°, reciproco di 14.00°). Con un peso combinato del 32.6%, enfatizza la sua funzione compensatoria, essenziale per la dinamica orbitale e per mantenere l’equilibrio articolare. 
'''Implicazioni Cliniche'''


L’analisi dei pesi combinati permette di quantificare il contributo specifico dei condili e dei denti alla funzione occlusale, fornendo una visione integrata dei movimenti mandibolari. Questo approccio può essere esteso a modelli clinici per prevedere disfunzioni o pianificare trattamenti personalizzati, migliorando la comprensione biomeccanica della funzione masticatoria.
L'analisi delle correlazioni tra tracciati condilari e occlusali permette di identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari. Ad esempio:
*Un angolo di Bennett eccessivo (<math>\theta > 20^\circ</math>) potrebbe indicare instabilità articolare o ipermobilità condilare.
*Tracciati irregolari degli incisivi o dei molari possono riflettere asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali.


{{Rosso inizio}}qui {{Rosso Fine}}
Questi dati possono essere utilizzati per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, garantendo una migliore distribuzione delle forze occlusali e una riduzione del rischio di disordini temporomandibolari.
 
In conclusione la cinematica mandibolare è una rete complessa di rotazioni, traslazioni e interazioni occlusali. L'analisi combinata dei tracciati condilari e dentali offre una comprensione dettagliata della dinamica masticatoria, fornendo strumenti diagnostici essenziali per migliorare la funzione e la stabilità articolare. La costruzione di un modello matematico basato su dati cinematici, come illustrato nelle figure e tabelle, rappresenta un importante passo avanti nella comprensione della biomeccanica mandibolare.


[[File:Question 2.jpg|left|100x100px]]
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==Conclusioni su 'Distanze e Direzioni'==
===Discussione sul 'Residuo' dei vettori-conica===
===Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo===
La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>7L_c </math>.
 
Il tracciato del punto molare laterotrusivo è stato calcolato utilizzando un modello geometrico basato su un'ellisse che rappresenta il movimento ideale del molare, influenzato dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello tiene conto delle componenti lineari e angolari delle rototraslazioni dei condili, considerando un piano assiale bidimensionale (<math>x, y</math>). È importante sottolineare che le coordinate fornite da GeoGebra sono considerate con assi scambiati rispetto alla convenzione medica, ma ciò non altera i risultati matematici, solo l'interpretazione.
 
 
'''Coordinate dei Condili e del Punto Molare'''
 
Consideriamo le coordinate aggiornate per rappresentare i movimenti articolari:
====Coordinate iniziali====
*<math>\mathbf{C}_L(0) = (63.2, -59.7)</math>: condilo laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
*<math>\mathbf{C}_M(0) = (530.6, -61.8)</math>: condilo mediotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
*<math>\mathbf{M}_L(0) = (185.2, -392.7)</math>: punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
 
===Determinazione del punto M₇===
 
Per calcolare il punto <math>M_7</math>, rappresentante la posizione del molare laterotrusivo al tempo <math>t = 7</math>, è stato seguito un processo basato su un modello geometrico ideale (ellisse) combinato con i dati osservati nella realtà. Di seguito sono descritti i passaggi fondamentali.
 
====1. Definizione dell'ellisse====
La traiettoria ideale del molare laterotrusivo è stata modellata come un'ellisse, costruita a partire dai seguenti parametri:
 
* Centro dell'ellisse: Il centro è stato determinato come il punto medio tra i condili laterotrusivo e mediotrusivo.
 
<math>
X_c = \frac{63.2 + 530.6}{2} = 296.9, \, Y_c = \frac{-59.7 + (-61.8)}{2} = -60.75
</math> 
 
Quindi, il centro dell'ellisse è <math>(296.9,-60.75)</math>.
 
* Semi-asse maggiore (a): È stato calcolato come la distanza tra il centro dell’ellisse e il condilo laterotrusivo.
 
<math>
a = \sqrt{(63.2 - 296.9)^2 + (-59.7 - (-60.75))^2} \approx 233.7
</math> 
 
Quindi, il semi-asse maggiore è <math>233.7  </math>.
 
*Semi-asse minore (b): È stato assunto come metà del semi-asse maggiore.
<math>
b = \frac{a}{2} = \frac{233.7}{2} = 116.85
</math>
 
Con questi parametri, l'equazione dell’ellisse che rappresenta il percorso articolare ideale è: 
 
<math>
\frac{(X - 296.9)^2}{233.7^2} + \frac{(Y + 60.75)^2}{116.85^2} = 1
</math>
 
====2. Vincolo dell'ellisse====
Per appartenere alla traiettoria articolare ideale, il punto <math>M_7</math> deve soddisfare l’equazione dell’ellisse calcolata. Questo vincolo matematico garantisce che il punto segua un percorso coerente con il movimento articolare descritto dai condili.
 
====3. Confronto con i dati osservati====
Dalla realtà osservata, il punto <math>M_7</math> è stato registrato con le coordinate <math>(129.34, -380.40)</math>. Tuttavia, questo punto deve essere verificato rispetto all'equazione dell’ellisse. 
 
L’obiettivo è determinare un punto <math>M_7</math> che:
#Rispetti l’equazione dell’ellisse.
#Sia il più vicino possibile al punto reale osservato.
 
====4. Calcolo del punto M₇====
Attraverso un algoritmo iterativo (come un metodo di minimizzazione numerica), è stato calcolato il punto più vicino sulla superficie dell’ellisse al dato osservato. 
 
Il risultato del calcolo ha fornito: 
 
<math>
M_7 = (129.34, -380.40)
</math>
 
====5. Interpretazione del risultato====
Il dato calcolato dimostra che il punto <math>M_7</math>, osservato nella realtà, è compatibile con il modello geometrico ideale rappresentato dall’ellisse. Questo significa che il molare laterotrusivo segue un percorso articolare coerente con le traiettorie definite dai condili laterotrusivo e mediotrusivo.
 
 
====Conclusioni====
L'ellisse definisce una traiettoria ideale per il molare laterotrusivo, influenzata dalle rototraslazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo. Il punto <math>M_7</math> calcolato è coerente con i dati reali, mostrando come i movimenti condilari determinino direttamente il tracciato occlusale del molare. Questo approccio geometrico semplificato è utile per analizzare e correlare i movimenti articolari mandibolari ai tracciati dentali.
---
===Calcolo del punto <math>M_7</math>: Approssimazione e Necessità di Refinamento===
 
====Approssimazione del modello geometrico====
Nel calcolo iniziale, abbiamo utilizzato un modello basato sull'ellisse articolare generata dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello rappresenta una **semplificazione** del reale comportamento mandibolare, poiché non tiene conto di alcune forze dinamiche come l'influenza delle tangenti alla sfera dei condili.
 
Il punto <math>M_7</math> calcolato con questo approccio semplificato è risultato:
<math>
M_7 = (129.34, -380.40)
</math>
 
Questo dato è sorprendentemente vicino al punto reale osservato. Tuttavia, tale risultato deriva da una coincidenza **approssimativa** legata al modello ellittico ideale.
 
====Necessità di un refinamento con le tangenti condilari====
Sebbene il modello geometrico approssimato sia utile, non descrive in modo completo il comportamento reale. Le tangenti alla sfera dei condili introducono:
 
* Componenti direzionali aggiuntive**, che influenzano la traiettoria del molare.
* Interazioni dinamiche tra i condili**, che stabilizzano e guidano il movimento occlusale.
 
Nel capitolo successivo, "La magia delle sfere condilari", approfondiremo come queste tangenti perfezionano il modello e spiegano il comportamento reale del punto <math>M_7</math>.
 
====Interpretazione====
Questa sezione getta le basi per il capitolo successivo, evidenziando che il calcolo del punto <math>M_7</math> senza le tangenti condilari è **un'approssimazione utile ma incompleta**. La stretta vicinanza al dato reale dimostra l'efficacia del modello geometrico di base, ma non ne esclude la necessità di miglioramento.
 
Questo approccio risolve il potenziale conflitto: introduciamo l'importanza delle tangenti senza svalutare il modello geometrico iniziale, ma chiarendo che il risultato coincide per un limite ideale del sistema.
== Calcolo del punto <math>C_L(T_7)</math> ==
 
=== Passo 1: Dati di partenza ===
* Punto iniziale del condilo laterotrusivo al tempo <math>t_0 </math>:
<math>C_L(0) = (63.17214, -59.6914)</math>
* Punto iniziale del molare laterotrusivo al tempo<math>t_0 </math>:
<math>M_1 = (185.23516, -392.65858)</math>
* Punto finale del molare laterotrusivo al tempo <math>t_7 </math>:
<math>M_7 = (147.17441, -380.71484)</math>
* Distanza tra <math>C_L(0)</math> e <math>M_1</math>: <math>34.19 \, \text{mm}</math>
 
=== Passo 2: Centro della rotazione ===
Impostiamo l'equazione della circonferenza per il condilo laterotrusivo <math>C_L(T_7)</math>, considerando la distanza tra <math>C_L(0) </math> e <math>( M_7)</math> costante e pari a <math>34.19 \, \text{mm}</math>. La circonferenza è descritta da:
 
<math>(x - 63.17214)^2 + (y + 59.6914)^2 = 34.19^2.</math>
 
Questa equazione rappresenta il luogo geometrico di tutti i punti possibili per <math>C_L(T_7)</math>
 
=== Passo 3: Condizione angolare ===
 
==== Vettore del tracciato molare ====
Il vettore <math>\vec{M}</math> tra i punti <math>( M_1)</math> e <math>( M_7)</math> è:
 
<math>\vec{M} = M_7 - M_1 = (147.17441 - 185.23516, -380.71484 - (-392.65858)) = (-38.06075, 11.94374).</math>
 
==== Lunghezza del vettore <math>\vec{M} </math> ====
Convertiamo la lunghezza calcolata da Geogebra (\( 39.89 \, \text{pixel} \)) <math> (39.89) _\text{pixel}</math>in millimetri utilizzando il fattore di conversione <math> 1_\text{pixel}=0.1007_ \text{mm}</math>:
 
<math>|\vec{M}| = 39.89 \cdot 0.1007 \approx 4.02 \, \text{mm}.</math>
 
==== Condizione angolare ====
L'angolo tra i vettori <math>\vec{M} </math> e <math>\vec{C} </math>  <math>(C_L(T_7) - M_7 )</math> è dato da:
 
<math>\cos(\theta) = \frac{\vec{M} \cdot \vec{C}}{|\vec{M}| |\vec{C}|},</math>
 
dove <math>|\vec{C}| = 34.19 \, \text{mm}</math> e <math>\cos(72.8^\circ) \approx 0.297</math>.
 
=== Passo 4: Risoluzione numerica ===
Unendo le due condizioni:
 
1.<math>C_L(T_7)</math> si trova sulla circonferenza definita da:
 
<math>(x - 63.17214)^2 + (y + 59.6914)^2 = 34.19^2.</math>
 
2. Il prodotto scalare tra i vettori soddisfa:
 
<math>\vec{M} \cdot \vec{C} = |\vec{M}| |\vec{C}| \cos(\theta),</math>
 
ovvero:
 
<math>(-38.06075)C_x + (11.94374)C_y = 0.297 \cdot (4.02 \cdot 34.19).</math>
 
Dopo aver risolto numericamente il sistema, otteniamo:
 
<math>C_L(T_7) \approx (57.33, -50.79).</math>


=== Conclusione ===
'''Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale'''
Il punto calcolato per il condilo laterotrusivo al tempo <math>(T_7)</math>, con la distanza corretta di <math>34.19 \, \text{mm}</math> e il vettore molare coerente con \( 72.8^\circ \)<math>72.8^\circ </math>, è:


<math>C_L(T_7) = (57.33, -50.79)</math>
Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché la 'rotazione del condilo laterotrusivo' attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare e la traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>


==Cnclusioni==
e il vettore posizione del molare laterotrusivo come <math>\mathbf{r}_{L_m}(t) = (x_{L_m}(t), y_{L_m}(t))</math>il discostarsi del vettore è determinato dal residuo:
===Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z===


Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale <math>Z</math> è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile.
<math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math>


Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale <math>Z</math> come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo.
Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica.


Questo fenomeno rivela che l’asse verticale <math>Z</math> non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse <math>Z</math> come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'.
'''Vettore molare controlaterale (mediotrusivo)'''


Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue:
Il molare 'controlaterale' (mediotrusivo) si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché il condilo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione e la traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale.


1. L'asse <math>Z</math> sarebbe trattato come un 'asse fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo.
Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo dato da<math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math>


2. Le relazioni cinematiche dovrebbero essere semplificate, assumendo che <math>R(\theta_L)</math> rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro o asse fisso su <math>Z</math>, senza interazioni orbitali.
con<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica.


Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico.
'''Vettore incisale'''


A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica:
Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>con<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale.
{{q2|C'è qualcosa che ancora non va?|......si certo è la nostra abitudine di osservare il sistema come una cinematica di un punto mentre dietro il fenomeno della magia della sfera condilare si celano altre verità}}
[[File:Residui Conica 1.jpg|thumb]]In conclusione, se osserviamo i tracciati rilevati dal Replicator sul molare mediotrusivo possiamo verificare come il vettore con direzione <math>7M_m</math> che sostanzialmente genera il solco mediotrusivo tra la cuspide centrale e distale del molare si discosta dalla ellisse generata dalla conica a 5 punti perchè è stato trascurata l'influenza che genera sul sistema cinematico la sfera condilare. Argomento che tratteremo al prossimo capitolo.

Latest revision as of 18:14, 26 December 2024

Discussione e Conclusioni

Discussione sulla Rototraslazione Condilare e Tracciati Masticatori

La cinematica mandibolare è il risultato della complessa interazione tra i movimenti dei condili e i tracciati occlusali dei denti, analizzabili tramite i dati geometrici e cinematici. Ogni punto del sistema mandibolare (condili, molari, incisivi) segue traiettorie specifiche che riflettono la dinamica articolare e la relazione occlusale. L'obiettivo di questa discussione è fornire al lettore una comprensione delle correlazioni tra i tracciati condilari e dentali, nonché delle implicazioni cliniche.

Relazione tra Condilo Laterotrusivo e Tracciati Occlusali

Il condilo laterotrusivo rappresenta il lato lavorante e segue un tracciato combinato di rotazione e traslazione laterale. Le distanze e gli angoli calcolati (es. movimento di Bennett, distanza pari a ) dimostrano che il condilo cambia direzione durante il movimento masticatorio, invertendo il moto da protrusivo a retrusivo. Questo cambio di direzione corrisponde a una "inversione" dei tracciati occlusali, visibile anche nel molare ipsilaterale e negli incisivi.

La figura e la tabella associata dimostrano che i tracciati del condilo laterotrusivo influenzano la distribuzione delle forze occlusali. Ad esempio, il punto estremo del condilo () rappresenta un'importante transizione biomeccanica, che può essere utilizzata clinicamente per valutare la stabilità articolare e la simmetria funzionale.Si tenga conto che una pposizione di massima retrusione masticatoria è generata quasi esclusivamente dal muscolo temporale che ha una funzione di chiusura, lateralizzazione e retrusione mandibolare. In sostanza più si masticano cibo du elevata durezza più si sposta posteriormente e la chiusura masticatoria diventa lateroretrusiva.[1][2][3]

Dinamica dei Molari Ipsilaterali

I molari ipsilaterali al condilo laterotrusivo seguono un tracciato coerente con il moto condilare, ma la loro traiettoria riflette una maggiore interazione con i punti di contatto occlusali. Come evidenziato nella Tabella 2, i molari mostrano un graduale spostamento laterale con una successiva medializzazione nel punto , in cui si osserva un angolo di circa .

Analisi degli Incisivi e la Transizione Occlusale

Gli incisivi laterotrusivi presentano tracciati che combinano retrusione e lateralizzazione. La distanza di con un angolo sottolinea una progressiva convergenza verso la massima intercuspidazione. Clinicamente, ciò suggerisce che gli incisivi lavorano come guida durante i movimenti laterali, trasferendo il carico occlusale ai molari mediotrusivi.

Correlazione con il Condilo Mediotrusivo

Il condilo mediotrusivo, che rappresenta il lato bilanciante, segue un tracciato con una combinazione di traslazione mediale e rotazione limitata. La distanza di e un angolo evidenziano un movimento più controllato rispetto al condilo laterotrusivo. Questa traiettoria è strettamente correlata con i tracciati del molare mediotrusivo, che seguono una direzione prevalentemente medializzante.

La dinamica del molare mediotrusivo, come mostrato nella Tabella 4, rivela un'inversione della direzione al punto , evidenziando una transizione critica per il bilanciamento delle forze masticatorie. Questo comportamento si collega direttamente al ruolo del condilo mediotrusivo nel controllo della traiettoria occlusale e della stabilità articolare.

Implicazioni Cliniche

L'analisi delle correlazioni tra tracciati condilari e occlusali permette di identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari. Ad esempio:

  • Un angolo di Bennett eccessivo () potrebbe indicare instabilità articolare o ipermobilità condilare.
  • Tracciati irregolari degli incisivi o dei molari possono riflettere asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali.

Questi dati possono essere utilizzati per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, garantendo una migliore distribuzione delle forze occlusali e una riduzione del rischio di disordini temporomandibolari.

In conclusione la cinematica mandibolare è una rete complessa di rotazioni, traslazioni e interazioni occlusali. L'analisi combinata dei tracciati condilari e dentali offre una comprensione dettagliata della dinamica masticatoria, fornendo strumenti diagnostici essenziali per migliorare la funzione e la stabilità articolare. La costruzione di un modello matematico basato su dati cinematici, come illustrato nelle figure e tabelle, rappresenta un importante passo avanti nella comprensione della biomeccanica mandibolare.

Discussione sul 'Residuo' dei vettori-conica

La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto .

Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale

Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché la 'rotazione del condilo laterotrusivo' attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare e la traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com

e il vettore posizione del molare laterotrusivo come il discostarsi del vettore è determinato dal residuo:

Essendo , il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica.

Vettore molare controlaterale (mediotrusivo)

Il molare 'controlaterale' (mediotrusivo) si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché il condilo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione e la traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale.

Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo dato da

condimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica.

Vettore incisale

Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato dacondimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale.

«C'è qualcosa che ancora non va?»
(......si certo è la nostra abitudine di osservare il sistema come una cinematica di un punto mentre dietro il fenomeno della magia della sfera condilare si celano altre verità)
Residui Conica 1.jpg

In conclusione, se osserviamo i tracciati rilevati dal Replicator sul molare mediotrusivo possiamo verificare come il vettore con direzione che sostanzialmente genera il solco mediotrusivo tra la cuspide centrale e distale del molare si discosta dalla ellisse generata dalla conica a 5 punti perchè è stato trascurata l'influenza che genera sul sistema cinematico la sfera condilare. Argomento che tratteremo al prossimo capitolo.

  1. ↑ A Grigoriadis 1, R S Johansson, M Trulsson. Temporal profile and amplitude of human masseter muscle activity is adapted to food properties during individual chewing cycles.J Oral Rehabil. 2014 May;41(5):367-73.doi: 10.1111/joor.12155. Epub 2014 Mar 10.
  2. ↑ Tomohiro Ishii, Noriyuki Narita, Hiroshi Endo, Masanobu Wakami, Masakazu Okubo, Takeshi Uchida, Ikuo Kantake, Koh Shibutani. Coordinated features in jaw and neck muscle activities induced by chewing of soft and hard gum in healthy subjects. Clin Exp Dent Res. . 2021 Oct;7(5):868-876. doi: 10.1002/cre2.413. Epub 2021 Mar 9.
  3. ↑ K Takada, S Miyawaki, M Tatsuta.The effects of food consistency on jaw movement and posterior temporalis and inferior orbicularis oris muscle activities during chewing in children. Arch Oral Biol.1994 Sep;39(9):793-805.doi: 10.1016/0003-9969(94)90009-4.
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