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Con una distanza percorsa relativamente ridotta (3.16 mm) e un angolo di 33.57° (reciproco di 146.43°), il condilo laterotrusivo evidenzia un peso combinato del 12.3%. Questo sottolinea il suo ruolo stabilizzatore durante i movimenti laterali, caratterizzato da un'azione vincolata e guidata sul lato lavorante.   
Con una distanza percorsa relativamente ridotta (3.16 mm) e un angolo di 33.57° (reciproco di 146.43°), il condilo laterotrusivo evidenzia un peso combinato del 12.3%. Questo sottolinea il suo ruolo stabilizzatore durante i movimenti laterali, caratterizzato da un'azione vincolata e guidata sul lato lavorante.   


Molare Laterotrusivo**  
Molare Laterotrusivo: La distanza di 9.10 mm e l’angolo di 72.80° (reciproco di 107.20°) assegnano al molare laterotrusivo un peso combinato del 17.3%. Questo riflette la sua rilevanza nel definire i tracciati occlusali laterali, in stretta interazione con il condilo lavorante.  Incisivo: Con la maggiore distanza percorsa (13.84 mm) e un angolo di 82.00° (reciproco di 98.00°), l'incisivo presenta il peso combinato più alto tra i denti (22.7%). Questo conferma il suo ruolo dominante nel bilanciare i movimenti mandibolari anteriori e laterali. Molare Mediotrusivo (Controlaterale): Il molare mediotrusivo, con una distanza di 8.99 mm e un angolo di 91.33° (reciproco di 88.67°), ha un peso combinato del 16.1%. Questo dimostra la sua funzione di supporto nella distribuzione delle forze laterali e nella stabilizzazione della traiettoria masticatoria. Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante): Nonostante la distanza ridotta (6.25 mm), il condilo mediotrusivo presenta il comportamento angolare più marcato (166.00°, reciproco di 14.00°). Con un peso combinato del 32.6%, enfatizza la sua funzione compensatoria, essenziale per la dinamica orbitale e per mantenere l’equilibrio articolare.   
La distanza di 9.10 mm e l’angolo di 72.80° (reciproco di 107.20°) assegnano al molare laterotrusivo un peso combinato del 17.3%. Questo riflette la sua rilevanza nel definire i tracciati occlusali laterali, in stretta interazione con il condilo lavorante.   
Incisivo** 
Con la maggiore distanza percorsa (13.84 mm) e un angolo di 82.00° (reciproco di 98.00°), l'incisivo presenta il peso combinato più alto tra i denti (22.7%). Questo conferma il suo ruolo dominante nel bilanciare i movimenti mandibolari anteriori e laterali.
 
Molare Mediotrusivo (Controlaterale)** 
Il molare mediotrusivo, con una distanza di 8.99 mm e un angolo di 91.33° (reciproco di 88.67°), ha un peso combinato del 16.1%. Questo dimostra la sua funzione di supporto nella distribuzione delle forze laterali e nella stabilizzazione della traiettoria masticatoria.
 
Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)** 
Nonostante la distanza ridotta (6.25 mm), il condilo mediotrusivo presenta il comportamento angolare più marcato (166.00°, reciproco di 14.00°). Con un peso combinato del 32.6%, enfatizza la sua funzione compensatoria, essenziale per la dinamica orbitale e per mantenere l’equilibrio articolare.   


L’analisi dei pesi combinati permette di quantificare il contributo specifico dei condili e dei denti alla funzione occlusale, fornendo una visione integrata dei movimenti mandibolari. Questo approccio può essere esteso a modelli clinici per prevedere disfunzioni o pianificare trattamenti personalizzati, migliorando la comprensione biomeccanica della funzione masticatoria.
L’analisi dei pesi combinati permette di quantificare il contributo specifico dei condili e dei denti alla funzione occlusale, fornendo una visione integrata dei movimenti mandibolari. Questo approccio può essere esteso a modelli clinici per prevedere disfunzioni o pianificare trattamenti personalizzati, migliorando la comprensione biomeccanica della funzione masticatoria.
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== Discussioni e conclusioni==
 
[[File:Question 2.jpg|left|100x100px]]
Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.
----
 
==C==
 
----
==Coordinate dei Condili e del Punto Molare==
==La scelta della conica a 5 punti==
 
La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale.
Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale:
* Asse <math>X</math>: orientamento antero-posteriore.
*Asse <math>Y</math>: lateralità.
*Asse <math>Z</math>: altezza.
 
Definiamo:
*<math>\mathbf{C}_L(0) = (0, 10, 0) </math>: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
*<math>\mathbf{C}_M(0)= (0, -10, 0)  </math>: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
*<math>\mathbf{M}_L(0) = (5, 5, -5)</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
 
---
 
==Rotazione e Traslazione dei CondiliCondilo Laterotrusivo (Lavorante)==
 
Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di:
***Rotazione laterale** con angolo <math>\theta_L</math> rispetto all’asse verticale <math>Z</math>.
***Traslazione retrusiva** lungo l'asse <math>X</math>, rappresentata da <math>\mathbf{d}_L </math>.
'''Rotaizone e traslazione dei condili'''
 
'''Condilo laterotrusivo (lavorante)'''
 
Se il moto è piano e la rotazione avviene attorno a un punto <math>\mathbf{P}</math> che non coincide con l'origine, la posizione del condilo laterotrusivo al tempo <math>t</math> è data da:
 
 
<math>
\mathbf{C}_L(t) = \mathbf{R}_Z(\theta_L) \cdot (\mathbf{C}_L(0) - \mathbf{P}) + \mathbf{P} + \mathbf{d}_L
</math>
 
Dove:
*<math>\mathbf{R}_Z(\theta_L)</math> è la matrice di rotazione attorno all’asse <math>Z</math>, definita come:
<math>
  \mathbf{R}_Z(\theta_L) =
\begin{pmatrix}
  \cos(\theta_L) & -\sin(\theta_L) & 0 \\
  \sin(\theta_L) & \cos(\theta_L) & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  </math>
 
 
<math>\mathbf{P}</math> è il punto attorno al quale avviene la rotazione (ad esempio l'origine)
 
 
<math>\mathbf{d}_L = (-d_L, 0, 0)</math> rappresenta la traslazione retrusiva lungo l'asse <math>X</math>.
 
 
'''Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)'''
 
Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante più complesso, che combina una rotazione con angolo <math>\theta_M</math>.
 
Se il moto è spaziale, si utilizza la 'formula di Rodrigues'. La posizione del condilo mediotrusivo al tempo <math>t</math> è data da:
 
<math>
\mathbf{C}_M(t) = \mathbf{R} \cdot \mathbf{C}_M(0) + \mathbf{d}_M
</math>
 
'''Formula di Rodrigues'''


Se la rotazione avviene nello spazio tridimensionale attorno a un asse arbitrario, la formula di Rodrigues si applica come segue:
===Definizione della conica===
 
Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale:
<math>
<math> A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0 </math>
\mathbf{v}_{rot} = \mathbf{v} \cos(\theta) + (\mathbf{k} \times \mathbf{v}) \sin(\theta) + \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos(\theta))
</math>


Dove:
Dove:
*<math>\mathbf{v}</math> è il vettore da ruotare.
* <math> A, B, C, D, E, F </math> sono coefficienti reali determinati dai punti dati.
*<math>\mathbf{k}</math> è il versore dell’asse attorno al quale avviene la rotazione.
* La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante:
*<math>\theta</math> è l’angolo di rotazione.
  * **Ellisse** se <math> B^2 - 4 A C < 0 </math>
'''Applicazione'''
  * **Parabola** se <math> B^2 - 4 A C = 0 </math>
 
  * **Iperbole** se <math> B^2 - 4 A C > 0 </math>
Nel nostro caso, per un moto spaziale:
*<math>\mathbf{k} = (0, 0, 1)</math> per una rotazione attorno all’asse <math>Z</math>.
*<math>\mathbf{v} = \mathbf{C}_M(0) - \mathbf{P}</math>, con <math>\mathbf{P}</math> punto di riferimento.
*La traslazione <math>\mathbf{d}_M </math> descrive il movimento orbitante e mediale.
 
 
'''Conclusione'''
 
La descrizione del movimento dei condili deve essere adattata al contesto:
*Moto piano: Utilizzare la formula per rotazioni attorno a un punto non coincidente con l'origine.
* Moto spaziale: Adottare la formula di Rodrigues per rotazioni tridimensionali attorno a un asse arbitrario.
 
Entrambi i metodi garantiscono una rappresentazione accurata dei movimenti combinati di rotazione e traslazione.
 
 
===Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo===
 
Il tracciato del punto molare laterotrusivo è influenzato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo sia dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo è:
 
<math>
\mathbf{M}_L(t) = \mathbf{M}_L(0) + R(\theta_L) \cdot \mathbf{M}_L(0) + \alpha \cdot \mathbf{C}_L(t) + \beta \cdot \mathbf{C}_M(t)
</math>
 
dove:
* <math>R(\theta_L)</math> rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
*<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili.
 
 
'''Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva'''
 
Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una elemento vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:
 
<math>
\mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t)=\beta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_L, 0, -5)
</math>
 
dove <math>\mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t)</math> rappresenta la componente lateroretrusiva aggiornata, considerando la posizione inferiore del punto molare rispetto ai condili.
 
Questa versione riveduta riflette la disposizione modificata:
 
1. I condili sono ora allineati lungo l'asse <math>Y</math>.
 
2. Il punto molare laterotrusivo si trova in una posizione più bassa sull'asse <math>Z</math>, rappresentando una configurazione spaziale in sintonia con la nuova disposizione.
 
Estendiamo ora il formalismo matematico per includere il comportamento del punto incisale e del punto molare mediotrusivo, completando così la descrizione della dinamica tra i condili e i punti di contatto chiave della mandibola.
 
===Tracciato del Punto Incisale===
 
Il punto incisale segue una traiettoria influenzata dalla combinazione dei movimenti di entrambi i condili, ma il suo spostamento è principalmente una funzione del **movimento globale della mandibola**. Questo tracciato può essere modellato considerando la somma delle componenti laterali e retrusive trasmesse dai condili, con pesi che riflettono la loro influenza sul movimento anteriore della mandibola.
 
Definiamo il punto incisale come:
 
<math>
\mathbf{I}(t) = (x_{I}(t), y_{I}(t), z_{I}(t))
</math>


La posizione <math>\mathbf{I}(t)</math> è data da:
===Perché 5 punti?===
Una conica è univocamente determinata da **5 punti distinti non allineati**. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti.


<math>
===Proprietà principali===
\mathbf{I}(t) = \mathbf{I}(0) + \gamma \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \delta \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t)
* **Univocità**: La conica è unica per 5 punti non allineati.
</math>
* **Adattabilità**: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale.
dove:
* **Flessibilità**: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare.
*<math>\gamma</math> e <math>\delta</math> sono coefficienti che riflettono l'influenza proporzionale dei condili sul tracciato incisale,
*<math>R(\theta_L)</math> e <math>R(\theta_M)</math> rappresentano le rotazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, rispettivamente, intorno all'asse verticale <math>Z</math>.


===Tracciato del Punto Molarare Mediotrusivo===
===Costruzione delle coniche specifiche===
Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare.


Analogamente al punto molare laterotrusivo, il punto molare mediotrusivo (<math>\mathbf{M}_M</math>) è influenzato dai movimenti combinati dei due condili, ma con una maggiore influenza del condilo mediotrusivo. Definiamo:
====Conica del molare laterotrusivo====
La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del **molare laterotrusivo**:
* <math> P_1 = (149.24, -380.71) </math>
* <math> P_2 = (187.30, -392.66) </math>
* <math> P_3 = (526.04, -87.36) </math>
* <math> P_4 = (530.57, -61.83) </math>
* <math> P_5 = (60.13, -51.29) </math>


<math>
====Conica dell'incisivo====
\mathbf{M}_M(t) = (x_{m_M}(t), y_{m_M}(t), z_{m_M}(t))
La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dell'**incisivo**:
</math>
* <math> P_1 = (257.81, -513.52) </math>
* <math> P_2 = (305, -520) </math>
* <math> P_3 = (526.04, -87.36) </math>
* <math> P_4 = (530.57, -61.83) </math>
* <math> P_5 = (60.13, -51.29) </math>


Il tracciato di <math>\mathbf{M}_M(t)</math> può essere modellato come:
====Conica del molare mediotrusivo====
La conica è stata generata per il **molare mediotrusivo** usando i seguenti punti chiave:
* <math> P_1 = (383.79, -396.65) </math>
* <math> P_2 = (422.45, -396.15) </math>
* <math> P_3 = (526.04, -87.36) </math>
* <math> P_4 = (530.57, -61.83) </math>
* <math> P_5 = (60.13, -51.29) </math>


===Costruzione della conica unificata===
Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una **conica unificata** a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree:
<math>
<math>
\mathbf{M}_M(t) = \mathbf{M}_M(0) + \beta' \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \alpha' \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t)
\text{Coefficienti Conica Unificata} = \frac{\text{Coeff}_\text{molare laterotrusivo} + \text{Coeff}_\text{incisale} + \text{Coeff}_\text{molare mediotrusivo}}{3}
</math>
</math>


dove:
L'equazione risultante è:
*<math>\beta'</math> e <math>\alpha'</math> sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo,
<math>  
*<math>R(\theta_L)</math> e <math>R(\theta_M)</math> descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo intorno all'asse <math>Z</math>.
5.0308e-05 \, x^2 + 1.5429e-05 \, x y + 3.1889e-06 \, y^2 - 0.02901 \, x - 0.01175 \, y + 0.99918 = 0
 
===Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive===
 
Per completare la rappresentazione della componente lateroretrusiva sui punti incisale e molari, è essenziale considerare la risultante delle **forze vettoriali** generate dai movimenti dei condili.
 
Componente Lateroretrusiva del Punto Incisale
 
<math>
\mathbf{I}_{\text{ret}}(t) = \delta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_I, 0, -5)
</math>
</math>
[[File:Figura Conica.jpg|center|thumb|300x300px]]


dove <math>\mathbf{I}_{\text{ret}}(t)</math> rappresenta la traiettoria lateroretrusiva del punto incisale, considerando la componente di retrazione e la posizione inferiore dell'incisale rispetto ai condili sull'asse <math>Z</math>.
===Applicazione della conica per individuare punti cinematici===
==Cnclusioni==
Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile **prevedere il punto C_L(7)** (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di:
===Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z===
* Determinare con precisione **dove cade il punto condilare laterotrusivo** sulla conica.
 
* Utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali.
Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale <math>Z</math> è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile.
 
Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale <math>Z</math> come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo.
 
Questo fenomeno rivela che l’asse verticale <math>Z</math> non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse <math>Z</math> come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'.
 
Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue:
 
1. L'asse <math>Z</math> sarebbe trattato come un 'asse fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo.


2. Le relazioni cinematiche dovrebbero essere semplificate, assumendo che <math>R(\theta_L)</math> rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro o asse fisso su <math>Z</math>, senza interazioni orbitali.
===Riflessioni finali===
La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati:
1. **Molare laterotrusivo**
2. **Incisivo**
3. **Molare mediotrusivo**


Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico.
L'uso della **conica unificata** ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le **coniche specifiche** risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto C_L(7).


A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica:
===Prossimi passi===
[[File:Question 2.jpg|left|100x100px]]
* Approfondire l'uso della conica per prevedere tracciati mancanti o deviazioni nei movimenti articolari.
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* Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi.
==Appendice==
* Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi.
==Conclusioni su 'Distanze e Direzioni'==
'''Condilo Laterotrusivo (Lavorante)'''
L'analisi cinematica del condilo laterotrusivo evidenzia una traiettoria articolare risultante da una combinazione di movimenti rotatori e traslatori. La traiettoria comprende componenti antero-posteriore e latero-mediale, influenzate dall'interazione con il condilo mediotrusivo. Questo comportamento tridimensionale è essenziale per l'equilibrio funzionale mandibolare, poiché determina la traiettoria e la stabilità dei contatti occlusali durante il ciclo masticatorio. Dal punto di vista clinico, la comprensione dettagliata di queste dinamiche può aiutare a diagnosticare e trattare disfunzioni temporomandibolari (TMD) e asimmetrie mandibolari.


'''Molare Laterotrusivo'''
==Conclusioni==
Il molare laterotrusivo mostra spostamenti lineari di circa 9.1 mm rispetto al punto di massima intercuspidazione, con un angolo calcolato di 73.32°. Questi movimenti riflettono forze e vincoli strutturali imposti dalla morfologia condilare e dall'interazione con il condilo mediotrusivo, influenzando la traiettoria del molare durante la funzione masticatoria. Questo tipo di analisi contribuisce a una comprensione più profonda dei movimenti mandibolari e supporta valutazioni cliniche utili per pianificare interventi riabilitativi.
Conclusione Corposa: Una Sintesi Integrata sul Ruolo della Cinematica Mandibolare e del Modello di Calibrazione
La cinematica mandibolare rappresenta uno dei settori più complessi della bioingegneria articolare e della biomeccanica orofacciale. Attraverso l'analisi approfondita dei movimenti lineari e rotatori, i dati presentati evidenziano un equilibrio dinamico tra stabilità e flessibilità funzionale, riflettendo l'interazione armonica tra condili, denti e incisivi durante i cicli masticatori. La complessa relazione tra spostamenti lineari, rotazioni angolari, traiettorie occlusali e forze articolari permette di comprendere la funzione mandibolare in termini scientifici, clinici e applicativi.


'''Incisivo'''
L'importanza della calibrazione da pixel a millimetri
Il movimento dell'incisivo lavorante mostra variazioni di spostamento lineare fino a 13.84 mm. L'angolo tra i segmenti definiti è stato calcolato pari a 85.09°, indicando una significativa mobilità laterale. Questo comportamento riflette un'ampia capacità di adattamento dei muscoli e dei tessuti circostanti per mantenere stabilità e precisione durante la funzione masticatoria. L'analisi quantitativa degli spostamenti lineari e angolari contribuisce alla diagnosi di disfunzioni articolari e alla pianificazione di trattamenti personalizzati.
Un elemento cardine dello studio è stata l'accurata calibrazione delle immagini, che ha trasformato dati visivi (pixel) in informazioni quantitative misurabili (millimetri). Tale passaggio è essenziale per garantire:
 
'''Molare Mediotrusivo (Controlaterale)'''
Il molare controlaterale evidenzia una distanza lineare di 8.99 mm e un angolo di circa 91.33°, suggerendo un movimento quasi perpendicolare rispetto ai segmenti di riferimento. Questo movimento garantisce stabilità laterale e un bilanciamento funzionale durante i movimenti masticatori laterali, contribuendo a un'efficace distribuzione delle forze sul lato mediotrusivo. L'analisi matematica di angoli e distanze supporta la diagnosi di disfunzioni articolari e fornisce una base per pianificazioni terapeutiche orientate alla stabilizzazione del sistema masticatorio.
 
'''Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)'''
Il condilo mediotrusivo segue una traiettoria complessa, caratterizzata da un movimento orbitante che combina spostamenti mediali e anteriori. L'angolo calcolato tra i punti analizzati è risultato pari a 13.57° (Angolo di Bennett). Questo valore riflette un adattamento dinamico durante i movimenti mandibolari laterali, con variazioni angolari che suggeriscono forze anomale o alterazioni potenzialmente indicative di disfunzioni articolari. Queste informazioni sono essenziali per individuare asimmetrie funzionali e migliorare la gestione dei disturbi temporomandibolari.
 
==Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo==
 
===Coordinate dei Condili e del Punto Molare===
Consideriamo le coordinate aggiornate per rappresentare i movimenti articolari:
*<math>\mathbf{C}_L(0) = (63.2,-59.7)</math>: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
*<math>\mathbf{C}_M(0) = (530.6,-61.8)</math>: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
*<math>\mathbf{M}_L(0) = (185.2,-392.7)</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
 
----
===Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo===


Il tracciato del punto molare laterotrusivo è stato calcolato utilizzando un modello geometrico basato su un'ellisse che rappresenta il movimento ideale del molare, influenzato dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello tiene conto delle componenti lineari e angolari delle rototraslazioni dei condili, considerando un piano assiale bidimensionale (<math>x, y</math>). È importante sottolineare che le coordinate fornite da GeoGebra sono considerate con assi scambiati rispetto alla convenzione medica, ma ciò non altera i risultati matematici, solo l'interpretazione.
Precisione nelle misurazioni: La conversione accurata consente di ridurre al minimo errori di rilevamento dovuti alla distorsione prospettica o ottica.
Standardizzazione analitica: L'adozione di un fattore di conversione unico (<math>0.1007 , \text{mm/pixel}</math>) ha uniformato i calcoli, rendendo i dati comparabili e riproducibili.
Applicabilità clinica: I dati ottenuti permettono di costruire modelli diagnostici utili nella pratica clinica, ad esempio per identificare disfunzioni dell'articolazione temporomandibolare (ATM).
La calibrazione rappresenta quindi non solo un passaggio tecnico, ma una vera e propria metodologia interpretativa che getta le basi per l'analisi quantitativa della funzione articolare.


====Coordinate iniziali====
Analisi dei movimenti condilari: Laterotrusione e mediotrusione
*<math>\mathbf{C}_L(0) = (63.2, -59.7)</math>: condilo laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
Uno dei principali contributi di questo lavoro è la rappresentazione dettagliata dei movimenti dei condili mandibolari, distinti in:
*<math>\mathbf{C}_M(0) = (530.6, -61.8)</math>: condilo mediotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
*<math>\mathbf{M}_L(0) = (185.2, -392.7)</math>: punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.


====Modello geometrico basato sull'ellisse====
Condilo laterotrusivo (lato lavorante): caratterizzato da una rototraslazione complessa, che combina spostamenti laterali con rotazioni attorno agli assi verticali (<math>Z</math>) e trasversali (<math>X</math>).
Per rappresentare la traiettoria del punto molare, è stata costruita un'ellisse con:
Condilo mediotrusivo (lato orbitante): dotato di un movimento prevalentemente traslatorio e meno vincolato rispetto al laterotrusivo, ma con un impatto fondamentale nell'equilibrio dinamico mandibolare.
***Centro**: punto medio tra i condili laterotrusivo e mediotrusivo:
La descrizione vettoriale di ciascun condilo, espressa attraverso <math>P_l(t)</math> e <math>P_m(t)</math>, ha permesso di quantificare spostamenti e rotazioni con un livello di precisione elevato. Questo approccio è cruciale per comprendere:
<math>\text{Centro} = \left( \frac{63.2 + 530.6}{2}, \frac{-59.7 + -61.8}{2} \right) = (296.9, -60.75)</math>
* **Semi-asse maggiore (<math>a</math>)**: distanza dal centro al condilo laterotrusivo (<math>C_L</math>):
<math>a = \sqrt{(296.9 - 63.2)^2 + (-60.75 - -59.7)^2} \approx 233.7.</math>  
***Semi-asse minore (<math>b</math>)**: assunto pari a metà del semi-asse maggiore:
<math>b = \frac{a}{2} \approx 116.85 </math>


L'equazione dell'ellisse è quindi: 
Il ruolo stabilizzante del condilo lavorante, che definisce i limiti laterali del movimento mandibolare.
<math>\frac{(X - 296.9)^2}{233.7^2} + \frac{(Y + 60.75)^2}{116.85^2} = 1</math>
La funzione compensatoria del condilo orbitante, che assicura la continuità del ciclo masticatorio bilanciando il peso delle forze occlusali.
Ruolo chiave dei denti nella biomeccanica mandibolare
I dati analizzati hanno mostrato come denti specifici, quali molari e incisivi, contribuiscano in modo significativo alla cinematica mandibolare:


====Determinazione del punto <math>M_7</math>====
Molare laterotrusivo: Rilevante per la definizione delle traiettorie occlusali laterali. La distanza percorsa (9.10 mm) e l’angolo formato (72.80°) ne sottolineano l’importanza nella distribuzione delle forze durante il movimento laterale.
Il punto <math>M_7</math>, rappresentante la posizione del molare laterotrusivo al tempo <math>t = 7</math>, deve soddisfare due condizioni:
Incisivo: Con una distanza di 13.84 mm e un angolo di 82°, l'incisivo si distingue per il ruolo dominante nei movimenti anteriori e laterali, agendo come punto guida per l'intero arco dentale.
Molare mediotrusivo: La distanza di 8.99 mm e l’angolo di 91.33° evidenziano la funzione di supporto del molare controlaterale, che contribuisce alla stabilizzazione del movimento mandibolare.
Coniche a 5 punti: Modellazione e predizione dei tracciati articolari
La scelta della conica a 5 punti ha rappresentato una svolta metodologica nella rappresentazione dei tracciati mandibolari. Rispetto a un modello ellittico ideale, le coniche specifiche offrono:


# Trovarsi sull'ellisse, rispettando l'equazione:
Adattabilità ai dati reali: Consentono di modellare traiettorie asimmetriche e irregolari, tipiche della cinematica mandibolare.
# <math>\frac{(X - 296.9)^2}{233.7^2} + \frac{(Y + 60.75)^2}{116.85^2} = 1 </math>
Univocità geometrica: Ogni conica è determinata in modo univoco da 5 punti sperimentali, garantendo precisione e riproducibilità.
# Essere il più vicino possibile al punto reale osservato:
Applicabilità predittiva: La conica unificata permette di prevedere posizioni articolari mancanti o deviate, offrendo uno strumento potente per la diagnosi e la pianificazione clinica.
# <math>M_7 \approx (129.34, -380.40).</math>
Pesi combinati lineari e angolari: Verso una visione integrata
L'innovativa analisi dei pesi combinati (lineari e angolari) ha fornito un quadro completo del contributo di ciascun elemento mandibolare alla funzione occlusale. Tra i risultati principali:


Attraverso un algoritmo iterativo, il punto <math>M_7</math> è stato calcolato come: 
Il condilo mediotrusivo emerge come il principale compensatore dinamico, con un peso combinato del 32.6%.
L'incisivo domina il bilanciamento anteriore e laterale, con il peso più elevato tra i denti (22.7%).
Il condilo laterotrusivo assume un ruolo stabilizzante, con un peso combinato del 12.3%, confermando la sua funzione vincolante.
Questo approccio integrato offre una visione quantificabile del contributo relativo di ciascun elemento articolare, aprendo nuove possibilità per la personalizzazione dei trattamenti occlusali.


<math>M_7 = (129.34, -380.40).</math>
Conclusioni finali e prospettive future
Lo studio ha dimostrato che la cinematica mandibolare è il risultato di un'interazione dinamica tra movimenti lineari, rotazioni angolari, e traiettorie occlusali, tutti orchestrati in modo da mantenere un equilibrio funzionale. Le principali implicazioni pratiche includono:


==== Conclusioni====
Diagnosi clinica avanzata: I modelli presentati permettono di identificare disfunzioni articolari, deviazioni occlusali e anomalie dei tracciati masticatori con un grado di precisione senza precedenti.
L'ellisse definisce una traiettoria ideale per il molare laterotrusivo, influenzata dalle rototraslazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo. Il punto <math>M_7</math> calcolato è coerente con i dati reali, mostrando come i movimenti condilari determinino direttamente il tracciato occlusale del molare. Questo approccio geometrico semplificato è utile per analizzare e correlare i movimenti articolari mandibolari ai tracciati dentali.
Pianificazione terapeutica personalizzata: L'integrazione di dati lineari e angolari consente di sviluppare trattamenti su misura per le esigenze specifiche del paziente.
Sviluppo di strumenti innovativi: L'uso delle coniche a 5 punti e dei pesi combinati offre una base metodologica per progettare software e dispositivi diagnostici di nuova generazione.
In futuro, sarà essenziale validare i modelli proposti con ulteriori dati sperimentali, esplorare l'applicabilità clinica delle coniche unificate e integrare l'analisi cinematico-occlusale in protocolli diagnostici standardizzati. Questo approccio interdisciplinare rappresenta un passo cruciale verso una comprensione più profonda e una gestione più efficace della funzione mandibolare, con benefici significativi per la pratica clinica e la ricerca.

Latest revision as of 20:51, 15 December 2024

Conclusione Integrata: Il Peso dei Condili e il Ruolo dei Tracciati Occlusali

L’analisi delle traiettorie mandibolari evidenzia una complessa interazione tra movimenti lineari e angolari. Questi movimenti, rilevati nei punti chiave della mandibola, riflettono l'equilibrio tra stabilità e adattabilità dinamica durante la funzione masticatoria. La combinazione dei pesi lineari e angolari offre una visione integrata del contributo relativo di ogni punto articolare, fornendo una base interpretativa robusta per il bilanciamento occlusale.

Tabella Riassuntiva dei Pesi

**Contributo Lineare e Angolare ai Tracciati Occlusali**
Area Analizzata Distanza (mm) Angolo Calcolato (°) Reciproco (°) Peso Lineare (%) Peso Angolare (%) Peso Combinato (%)
Condilo Laterotrusivo 3.16 33.57 146.43 7.8 16.7 12.3
Molare Laterotrusivo 9.10 72.80 107.20 22.4 12.2 17.3
Incisivo 13.84 82.00 98.00 34.1 11.2 22.7
Molare Mediotrusivo 8.99 91.33 88.67 22.1 10.1 16.1
Condilo Mediotrusivo 6.25 166.00 14.00 15.4 49.8 32.6

Metodo di Calcolo dei Pesi

Il peso combinato tiene conto di due parametri fondamentali:

  1. Peso Lineare: Determinato dalla distanza percorsa dal punto analizzato rispetto al punto di riferimento (solitamente ).
  2. Peso Angolare: Calcolato come la normalizzazione dell'angolo reciproco rispetto alla somma di tutti i reciproci degli angoli analizzati.

I pesi relativi sono ottenuti mediante la seguente procedura:

Peso Lineare Normalizzato:

.

Peso Angolare Normalizzato:

.

Peso Combinato:

, per dare, in questo contesto, pari importanza alle componenti lineari e angolari.

Considerazioni Finali

Condilo Laterotrusivo (Lavorante)** Con una distanza percorsa relativamente ridotta (3.16 mm) e un angolo di 33.57° (reciproco di 146.43°), il condilo laterotrusivo evidenzia un peso combinato del 12.3%. Questo sottolinea il suo ruolo stabilizzatore durante i movimenti laterali, caratterizzato da un'azione vincolata e guidata sul lato lavorante.

Molare Laterotrusivo: La distanza di 9.10 mm e l’angolo di 72.80° (reciproco di 107.20°) assegnano al molare laterotrusivo un peso combinato del 17.3%. Questo riflette la sua rilevanza nel definire i tracciati occlusali laterali, in stretta interazione con il condilo lavorante. Incisivo: Con la maggiore distanza percorsa (13.84 mm) e un angolo di 82.00° (reciproco di 98.00°), l'incisivo presenta il peso combinato più alto tra i denti (22.7%). Questo conferma il suo ruolo dominante nel bilanciare i movimenti mandibolari anteriori e laterali. Molare Mediotrusivo (Controlaterale): Il molare mediotrusivo, con una distanza di 8.99 mm e un angolo di 91.33° (reciproco di 88.67°), ha un peso combinato del 16.1%. Questo dimostra la sua funzione di supporto nella distribuzione delle forze laterali e nella stabilizzazione della traiettoria masticatoria. Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante): Nonostante la distanza ridotta (6.25 mm), il condilo mediotrusivo presenta il comportamento angolare più marcato (166.00°, reciproco di 14.00°). Con un peso combinato del 32.6%, enfatizza la sua funzione compensatoria, essenziale per la dinamica orbitale e per mantenere l’equilibrio articolare.

L’analisi dei pesi combinati permette di quantificare il contributo specifico dei condili e dei denti alla funzione occlusale, fornendo una visione integrata dei movimenti mandibolari. Questo approccio può essere esteso a modelli clinici per prevedere disfunzioni o pianificare trattamenti personalizzati, migliorando la comprensione biomeccanica della funzione masticatoria.

qui


Question 2.jpg

C

La scelta della conica a 5 punti

La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale.

Definizione della conica

Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale:

Dove:

  • sono coefficienti reali determinati dai punti dati.
  • La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante:
 * **Ellisse** se 
 * **Parabola** se 
 * **Iperbole** se

Perché 5 punti?

Una conica è univocamente determinata da **5 punti distinti non allineati**. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti.

Proprietà principali

  • **Univocità**: La conica è unica per 5 punti non allineati.
  • **Adattabilità**: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale.
  • **Flessibilità**: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare.

Costruzione delle coniche specifiche

Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare.

Conica del molare laterotrusivo

La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del **molare laterotrusivo**:

Conica dell'incisivo

La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dell'**incisivo**:

Conica del molare mediotrusivo

La conica è stata generata per il **molare mediotrusivo** usando i seguenti punti chiave:

Costruzione della conica unificata

Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una **conica unificata** a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree:

L'equazione risultante è:

Figura Conica.jpg

Applicazione della conica per individuare punti cinematici

Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile **prevedere il punto C_L(7)** (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di:

  • Determinare con precisione **dove cade il punto condilare laterotrusivo** sulla conica.
  • Utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali.

Riflessioni finali

La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati: 1. **Molare laterotrusivo** 2. **Incisivo** 3. **Molare mediotrusivo**

L'uso della **conica unificata** ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le **coniche specifiche** risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto C_L(7).

Prossimi passi

  • Approfondire l'uso della conica per prevedere tracciati mancanti o deviazioni nei movimenti articolari.
  • Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi.
  • Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi.

Conclusioni

Conclusione Corposa: Una Sintesi Integrata sul Ruolo della Cinematica Mandibolare e del Modello di Calibrazione La cinematica mandibolare rappresenta uno dei settori più complessi della bioingegneria articolare e della biomeccanica orofacciale. Attraverso l'analisi approfondita dei movimenti lineari e rotatori, i dati presentati evidenziano un equilibrio dinamico tra stabilità e flessibilità funzionale, riflettendo l'interazione armonica tra condili, denti e incisivi durante i cicli masticatori. La complessa relazione tra spostamenti lineari, rotazioni angolari, traiettorie occlusali e forze articolari permette di comprendere la funzione mandibolare in termini scientifici, clinici e applicativi.

L'importanza della calibrazione da pixel a millimetri Un elemento cardine dello studio è stata l'accurata calibrazione delle immagini, che ha trasformato dati visivi (pixel) in informazioni quantitative misurabili (millimetri). Tale passaggio è essenziale per garantire:

Precisione nelle misurazioni: La conversione accurata consente di ridurre al minimo errori di rilevamento dovuti alla distorsione prospettica o ottica. Standardizzazione analitica: L'adozione di un fattore di conversione unico () ha uniformato i calcoli, rendendo i dati comparabili e riproducibili. Applicabilità clinica: I dati ottenuti permettono di costruire modelli diagnostici utili nella pratica clinica, ad esempio per identificare disfunzioni dell'articolazione temporomandibolare (ATM). La calibrazione rappresenta quindi non solo un passaggio tecnico, ma una vera e propria metodologia interpretativa che getta le basi per l'analisi quantitativa della funzione articolare.

Analisi dei movimenti condilari: Laterotrusione e mediotrusione Uno dei principali contributi di questo lavoro è la rappresentazione dettagliata dei movimenti dei condili mandibolari, distinti in:

Condilo laterotrusivo (lato lavorante): caratterizzato da una rototraslazione complessa, che combina spostamenti laterali con rotazioni attorno agli assi verticali () e trasversali (). Condilo mediotrusivo (lato orbitante): dotato di un movimento prevalentemente traslatorio e meno vincolato rispetto al laterotrusivo, ma con un impatto fondamentale nell'equilibrio dinamico mandibolare. La descrizione vettoriale di ciascun condilo, espressa attraverso e , ha permesso di quantificare spostamenti e rotazioni con un livello di precisione elevato. Questo approccio è cruciale per comprendere:

Il ruolo stabilizzante del condilo lavorante, che definisce i limiti laterali del movimento mandibolare. La funzione compensatoria del condilo orbitante, che assicura la continuità del ciclo masticatorio bilanciando il peso delle forze occlusali. Ruolo chiave dei denti nella biomeccanica mandibolare I dati analizzati hanno mostrato come denti specifici, quali molari e incisivi, contribuiscano in modo significativo alla cinematica mandibolare:

Molare laterotrusivo: Rilevante per la definizione delle traiettorie occlusali laterali. La distanza percorsa (9.10 mm) e l’angolo formato (72.80°) ne sottolineano l’importanza nella distribuzione delle forze durante il movimento laterale. Incisivo: Con una distanza di 13.84 mm e un angolo di 82°, l'incisivo si distingue per il ruolo dominante nei movimenti anteriori e laterali, agendo come punto guida per l'intero arco dentale. Molare mediotrusivo: La distanza di 8.99 mm e l’angolo di 91.33° evidenziano la funzione di supporto del molare controlaterale, che contribuisce alla stabilizzazione del movimento mandibolare. Coniche a 5 punti: Modellazione e predizione dei tracciati articolari La scelta della conica a 5 punti ha rappresentato una svolta metodologica nella rappresentazione dei tracciati mandibolari. Rispetto a un modello ellittico ideale, le coniche specifiche offrono:

Adattabilità ai dati reali: Consentono di modellare traiettorie asimmetriche e irregolari, tipiche della cinematica mandibolare. Univocità geometrica: Ogni conica è determinata in modo univoco da 5 punti sperimentali, garantendo precisione e riproducibilità. Applicabilità predittiva: La conica unificata permette di prevedere posizioni articolari mancanti o deviate, offrendo uno strumento potente per la diagnosi e la pianificazione clinica. Pesi combinati lineari e angolari: Verso una visione integrata L'innovativa analisi dei pesi combinati (lineari e angolari) ha fornito un quadro completo del contributo di ciascun elemento mandibolare alla funzione occlusale. Tra i risultati principali:

Il condilo mediotrusivo emerge come il principale compensatore dinamico, con un peso combinato del 32.6%. L'incisivo domina il bilanciamento anteriore e laterale, con il peso più elevato tra i denti (22.7%). Il condilo laterotrusivo assume un ruolo stabilizzante, con un peso combinato del 12.3%, confermando la sua funzione vincolante. Questo approccio integrato offre una visione quantificabile del contributo relativo di ciascun elemento articolare, aprendo nuove possibilità per la personalizzazione dei trattamenti occlusali.

Conclusioni finali e prospettive future Lo studio ha dimostrato che la cinematica mandibolare è il risultato di un'interazione dinamica tra movimenti lineari, rotazioni angolari, e traiettorie occlusali, tutti orchestrati in modo da mantenere un equilibrio funzionale. Le principali implicazioni pratiche includono:

Diagnosi clinica avanzata: I modelli presentati permettono di identificare disfunzioni articolari, deviazioni occlusali e anomalie dei tracciati masticatori con un grado di precisione senza precedenti. Pianificazione terapeutica personalizzata: L'integrazione di dati lineari e angolari consente di sviluppare trattamenti su misura per le esigenze specifiche del paziente. Sviluppo di strumenti innovativi: L'uso delle coniche a 5 punti e dei pesi combinati offre una base metodologica per progettare software e dispositivi diagnostici di nuova generazione. In futuro, sarà essenziale validare i modelli proposti con ulteriori dati sperimentali, esplorare l'applicabilità clinica delle coniche unificate e integrare l'analisi cinematico-occlusale in protocolli diagnostici standardizzati. Questo approccio interdisciplinare rappresenta un passo cruciale verso una comprensione più profonda e una gestione più efficace della funzione mandibolare, con benefici significativi per la pratica clinica e la ricerca.

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