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4. Strumenti quantistici dallo schema delle misurazioni indirette

Il modello base per la costruzione di strumenti quantistici si basa sullo schema delle misurazioni indirette. Questo schema formalizza la seguente situazione: gli output della misurazione sono generati tramite l'interazione di un sistema $S$ con un apparato di misurazione $M$ . Questo apparato è costituito da un dispositivo fisico complesso che interagisce con $S$ e da un puntatore che mostra il risultato della misurazione, diciamo spin up o spin down. Un osservatore può vedere solo gli output del puntatore e associa questi output ai valori dell'osservabile $A$ per il sistema $S$ . Pertanto, lo schema di misurazione indiretta prevede:

gli stati dei sistemi $S$ e dell'apparato $M$
l'operatore $U$ che presenta le dinamiche di interazione per il sistema $S+M$
il misuratore osservabile $M_{A}$ che fornisce le uscite del puntatore dell'apparato $M$

Un modello di misurazione indiretta, introdotto in Ozawa (1984)^[1] come un "processo di misurazione (generale)", è uno quadrupla $(H,\sigma ,U,M_{A})$ costituito da uno spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ , un operatore di densità $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ , un operatore unitario $U$ sul prodotto tensoriale degli spazi di stato di $S$ e $M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ e un operatore Hermitiano $M_{A}$ su ${\mathcal {H}}$ . Con questo modello di misurazione, lo spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ descrive gli stati dell'apparato $M$ , l'operatore unitario $U$ descrive l'evoluzione nel tempo del sistema composito $S+M$ , l'operatore di densità $\sigma$ descrive lo stato iniziale dell'apparato $M$ e l'operatore Hermitiano $M_{A}$ descrive il contatore osservabile dell'apparato $M$ . Quindi, la distribuzione di probabilità di uscita $Pr\{A=x\|\sigma \}$ nello stato del sistema $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ è data da

Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]

(18)

dove $E^{M_{A}}(x)$ è la proiezione spettrale di $M_{A}$ per l'autovalore $x$ .

Il cambiamento dello stato $\sigma$ del sistema $S$ causato dalla misurazione per l'esito $A=x$ è rappresentato con l'ausilio della mappa $\Im _{A}(x)$ nello spazio degli operatori di densità definiti come

{\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]

(19)

dove $Tr_{\mathcal {H}}$ è la traccia parziale su ${\mathcal {H}}$ . Quindi, la mappa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ risulta essere uno strumento quantistico. Pertanto, le proprietà statistiche della misurazione realizzata da qualsiasi modello di misurazione indiretta $(H,\sigma ,U,M_{A})$ sono descritte da una misurazione quantistica. Osserviamo che viceversa qualsiasi strumento quantistico può essere rappresentato tramite il modello di misura indiretta (Ozawa, 1984).^[1] Pertanto, gli strumenti quantistici caratterizzano matematicamente le proprietà statistiche di tutte le misurazioni quantistiche realizzabili fisicamente.

↑ ^1.0 ^1.1 Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar

[:Ozawa_(1984)-1] 1.0 ^1.1 Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar

[1]

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-Un ''modello di misurazione indiretta'', introdotto in Ozawa (1984)<ref name=":0">Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar</ref> come un "processo di misurazione (generale)", è uno quadrupla <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> costituito da uno spazio di Hilbert <math>\mathcal{H}</math>, un operatore di densità <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>, un operatore unitario  <math>U</math> sul prodotto tensoriale degli spazi di stato di <math>S</math> e<math>M,U:\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}\otimes\mathcal{H}</math> e un operatore Hermitiano <math>M_A</math> su <math>\mathcal{H}</math>. Con questo modello di misurazione, lo spazio di Hilbert <math>\mathcal{H}</math> descrive gli stati dell'apparato <math>M</math>, l'operatore unitario <math>U</math> descrive l'evoluzione nel tempo del sistema composito <math>S+M</math>, l'operatore di densità <math>\sigma</math> descrive lo stato iniziale dell'apparato <math>M</math> e l'operatore Hermitiano <math>M_A</math> descrive il contatore osservabile dell'apparato <math>M</math>. Quindi, la distribuzione di probabilità di uscita <math>Pr\{A=x\|\sigma\}</math> nello stato del sistema <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math> è data da
+Un ''modello di misurazione indiretta'', introdotto in Ozawa (1984)<ref name=":Ozawa (1984)">Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar</ref> come un "processo di misurazione (generale)", è uno quadrupla <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> costituito da uno spazio di Hilbert <math>\mathcal{H}</math>, un operatore di densità <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>, un operatore unitario  <math>U</math> sul prodotto tensoriale degli spazi di stato di <math>S</math> e<math>M,U:\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}\otimes\mathcal{H}</math> e un operatore Hermitiano <math>M_A</math> su <math>\mathcal{H}</math>. Con questo modello di misurazione, lo spazio di Hilbert <math>\mathcal{H}</math> descrive gli stati dell'apparato <math>M</math>, l'operatore unitario <math>U</math> descrive l'evoluzione nel tempo del sistema composito <math>S+M</math>, l'operatore di densità <math>\sigma</math> descrive lo stato iniziale dell'apparato <math>M</math> e l'operatore Hermitiano <math>M_A</math> descrive il contatore osservabile dell'apparato <math>M</math>. Quindi, la distribuzione di probabilità di uscita <math>Pr\{A=x\|\sigma\}</math> nello stato del sistema <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math> è data da
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-dove <math>Tr_\mathcal{H}</math> è la traccia parziale su <math>\mathcal{H}</math>. Quindi, la mappa <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> risulta essere uno strumento quantistico. Pertanto, le proprietà statistiche della misurazione realizzata da qualsiasi modello di misurazione indiretta <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> sono descritte da una misurazione quantistica. Osserviamo che viceversa qualsiasi strumento quantistico può essere rappresentato tramite il modello di misura indiretta (Ozawa, 1984).<ref name=":0" /> Pertanto, gli strumenti quantistici caratterizzano matematicamente le proprietà statistiche di tutte le misurazioni quantistiche realizzabili fisicamente.
+dove <math>Tr_\mathcal{H}</math> è la traccia parziale su <math>\mathcal{H}</math>. Quindi, la mappa <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> risulta essere uno strumento quantistico. Pertanto, le proprietà statistiche della misurazione realizzata da qualsiasi modello di misurazione indiretta <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> sono descritte da una misurazione quantistica. Osserviamo che viceversa qualsiasi strumento quantistico può essere rappresentato tramite il modello di misura indiretta (Ozawa, 1984).<ref name=":Ozawa (1984)" /> Pertanto, gli strumenti quantistici caratterizzano matematicamente le proprietà statistiche di tutte le misurazioni quantistiche realizzabili fisicamente.