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3.4. Théorie générale (Davies-Lewis-Ozawa)

Enfin, nous formulons la notion générale d'instrument quantique. Un super-opérateur agissant dans ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ appelé positif s'il mappe l'ensemble des opérateurs semi-définis positifs sur lui-même. Nous remarquons que, pour chaque $x,\Im _{A}(x)$ donné par (13) peut être considéré comme une application positive linéaire.

Généralement, toute carte $x\rightarrow \Im _{A}(x)$, où pour chaque $x$, la carte $\Im _{A}(x)$ est un superopérateur positif est appelée instrument quantique de Davies-Lewis (Davies et Lewis, 1970).

Ici, l'indice 0${\textstyle A}$désigne l'observable couplé à cet instrument. Les probabilités de résultats ${\textstyle A}$ sont données par la règle de Born sous la forme (15) et la mise à jour d'état par transformation (14). Cependant, Yuen (1987) a souligné que la classe des instruments Davies-Lewis est trop générale pour exclure les instruments physiquement non réalisables. Ozawa (1984) a introduit la condition supplémentaire importante pour s'assurer que chaque instrument quantique est physiquement réalisable. C'est la condition de la positivité complète.

Un superopérateur est dit complètement positif si son extension naturelle ${\textstyle \jmath \otimes I}$ au produit tensoriel ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})={\mathcal {L}}({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})}$ est à nouveau un superopérateur positif sur ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Une carte $x\rightarrow \Im _{A}(x)$, où pour chaque ${\textstyle x}$, la carte $\Im _{A}(x)$ est un superopérateur complètement positif est appelée Davies–Lewis–Ozawa (Davies et Lewis, 1970, Ozawa, 1984) instrument quantique ou simplement instrument quantique. Comme nous le verrons dans la section 4, la positivité complète est une condition suffisante pour qu'un instrument soit physiquement réalisable. D'autre part, la nécessité est dérivée comme suit (Ozawa, 2004).

Chaque  ${\textstyle A}$ observable d'un système ${\textstyle S}$ est identifié avec le ${\textstyle A\otimes I}$ observable d'un système ${\textstyle S+S'}$ avec tout système ${\textstyle S'}$ externe à ${\textstyle S}$.(10)

Ensuite, tout instrument physiquement réalisable $\Im _{A}$ mesurant ${\textstyle A}$ doit être identifié avec l'instrument ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}}$ mesurant ${\textstyle A{\otimes }I}$ tel que ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}(x)=\Im _{A}(x)\otimes I}$. Cela implique que ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ est à nouveau un super-opérateur positif, de sorte que $\Im _{A}(x)$ est complètement positif.

De même, tout système de mesure d'instrument $\Im _{A}(x)$ physiquement réalisable ${\textstyle S}$ devrait avoir son instrument étendu  ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ système de mesure ${\textstyle S+S'}$ pour tout système externe ${\textstyle S'}$. Ceci n'est rempli que si  $\Im _{A}(x)$ est complètement positif. Ainsi, la positivité complète est une condition nécessaire pour que $\Im _{A}$ décrive un instrument physiquement réalisable.