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4. Instruments quantiques du schéma des mesures indirectes

Le modèle de base pour la construction d'instruments quantiques est basé sur le schéma de mesures indirectes. Ce schéma formalise la situation suivante : les sorties de mesure sont générées via l'interaction d'un système $S$ avec un appareil de mesure $M$ . Cet appareil consiste en un dispositif physique complexe interagissant avec $S$ et un pointeur qui affiche le résultat de la mesure, par exemple spin up ou spin down. Un observateur ne peut voir que les sorties du pointeur et il associe ces sorties aux valeurs de l'observable $A$ pour le système $S$ . Ainsi, le schéma de mesure indirect implique :

les états des systèmes $S$ et des appareils $M$
l'opérateur $U$ représentant la dynamique d'interaction pour le système $S+M$
le mètre observable $M_{A}$ donnant les sorties du pointeur de l'appareil $M$ .

Un modèle de mesure indirecte, introduit dans Ozawa (1984)^[1] comme un « processus de mesure (général) », est un quadruple

$(H,\sigma ,U,M_{A})$

composé d'un espace de Hilbert ${\mathcal {H}}$ , d'un opérateur de densité $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ , d'un opérateur unitaire $U$ sur le produit tensoriel des espaces d'états de $S$ et $M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ et d'un opérateur Hermitien $M_{A}$ sur ${\mathcal {H}}$ . Par ce modèle de mesure, l'espace de Hilbert ${\mathcal {H}}$ décrit les états de l'appareil $M$ , l'opérateur unitaire $U$ décrit l'évolution temporelle du système composite $S+M$ , l'opérateur de densité $\sigma$ décrit l'état initial de l'appareil $M$ et l'opérateur Hermitien $M_{A}$ décrit le mètre observable de l'appareil $M$ . Ensuite, la distribution de probabilité de sortie $Pr\{A=x\|\sigma \}$ dans l'état du système $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ est donnée par

Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]

(18)

où $E^{M_{A}}(x)$ est la projection spectrale de $M_{A}$ pour la valeur propre $x$ . Le changement de l'état $\sigma$ du système $S$ causé par la mesure pour le résultat $A=x$ est représenté à l'aide de la carte $\Im _{A}(x)$ dans l'espace des opérateurs de densité définis comme

{\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]

(19)

où $Tr_{\mathcal {H}}$ est la trace partielle sur ${\mathcal {H}}$ . Ensuite, la carte $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ s'avère être un instrument quantique. Ainsi, les propriétés statistiques de la mesure réalisée par tout modèle de mesure indirect $(H,\sigma ,U,M_{A})$ sont décrites par une mesure quantique. Remarquons qu'à l'inverse tout instrument quantique peut être représenté via le modèle de mesure indirecte (Ozawa, 1984).^[1] Ainsi, les instruments quantiques caractérisent mathématiquement les propriétés statistiques de toutes les mesures quantiques physiquement réalisables.

↑ ^1.0 ^1.1 Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87

[:0-1] 1.0 ^1.1 Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87

[1]

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-==4. Quantum instruments from the scheme of indirect measurements==
+==4. Instruments quantiques du schéma des mesures indirectes==
-The basic model for construction of quantum instruments is based on the scheme of indirect measurements. This scheme formalizes the following situation: measurement’s outputs are generated via interaction of a system <math>S</math> with a measurement apparatus <math>M</math> . This apparatus consists of a complex physical device interacting with <math>S</math> and a pointer that shows the result of measurement, say spin up or spin down. An observer can see only outputs of the pointer and he associates these outputs with the values of the observable <math>A</math> for the system <math>S</math>. Thus, the indirect measurement scheme involves:
+Le modèle de base pour la construction d'instruments quantiques est basé sur le schéma de mesures indirectes. Ce schéma formalise la situation suivante : les sorties de mesure sont générées via l'interaction d'un système <math>S</math> avec un appareil de mesure <math>M</math>. Cet appareil consiste en un dispositif physique complexe interagissant avec <math>S</math> et un pointeur qui affiche le résultat de la mesure, par exemple spin up ou spin down. Un observateur ne peut voir que les sorties du pointeur et il associe ces sorties aux valeurs de l'observable <math>A</math> pour le système <math>S</math>. Ainsi, le schéma de mesure indirect implique :
-# the states of the systems <math>S</math> and the apparatus <math>M</math>
+# les états des systèmes <math>S</math> et des appareils <math>M</math>
-# the operator  <math>U</math> representing the interaction-dynamics for the system <math>S+M</math>
+#l'opérateur <math>U</math> représentant la dynamique d'interaction pour le système <math>S+M</math>
-# the meter observable <math>M_A</math> giving outputs of the pointer of the apparatus <math>M</math>.
+# le mètre observable <math>M_A</math> donnant les sorties du pointeur de l'appareil <math>M</math>.
-An ''indirect measurement model'', introduced in Ozawa (1984) as a “(general) measuring process”, is a quadruple
+Un modèle de mesure indirecte, introduit dans Ozawa (1984)<ref name=":0">Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87</ref> comme un « processus de mesure (général) », est un quadruple
 <math>(H,\sigma,U,M_A)</math>
-consisting of a Hilbert space <math>\mathcal{H}</math> , a density operator <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>, a unitary operator  <math>U</math> on the tensor product of the state spaces of  <math>S</math> and<math>M,U:\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}\otimes\mathcal{H}</math> and a Hermitian operator <math>M_A</math> on <math>\mathcal{H}</math> . By this measurement model, the Hilbert space <math>\mathcal{H}</math> describes the states of the apparatus <math>M</math>, the unitary operator <math>U</math> describes the time-evolution of the composite system <math>S+M</math>, the density operator <math>\sigma</math> describes the initial state of the apparatus <math>M</math> , and the Hermitian operator <math>M_A</math> describes the meter observable of the apparatus <math>M</math>. Then, the output probability distribution <math>Pr\{A=x\|\sigma\}</math> in the system state <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math> is given by
+composé d'un espace de Hilbert <math>\mathcal{H}</math>, d'un opérateur de densité <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>, d'un opérateur unitaire <math>U</math> sur le produit tensoriel des espaces d'états de <math>S</math> et <math>M,U:\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}\otimes\mathcal{H}</math> et d'un opérateur Hermitien <math>M_A</math> sur <math>\mathcal{H}</math>. Par ce modèle de mesure, l'espace de Hilbert <math>\mathcal{H}</math> décrit les états de l'appareil <math>M</math>, l'opérateur unitaire <math>U</math> décrit l'évolution temporelle du système composite <math>S+M</math>, l'opérateur de densité <math>\sigma</math> décrit l'état initial de l'appareil <math>M</math> et l'opérateur Hermitien <math>M_A</math> décrit le mètre observable de l'appareil  <math>M</math>. Ensuite, la distribution de probabilité de sortie <math>Pr\{A=x\|\sigma\}</math> dans l'état du système <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math> est donnée par
 {| width="80%" |
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 |}
-where <math>E^{M_{A}}(x)</math> is the spectral projection of <math>M_A</math> for the eigenvalue <math>x</math>.
+où <math>E^{M_{A}}(x)</math> est la projection spectrale de <math>M_A</math> pour la valeur propre <math>x</math>. Le changement de l'état <math>\sigma</math> du système <math>S</math> causé par la mesure pour le résultat  <math>A=x</math> est représenté à l'aide de la carte <math>\Im_A(x)</math> dans l'espace des opérateurs de densité définis comme
-The change of the state <math>\sigma</math> of the system <math>S</math> caused by the measurement for the outcome  <math>A=x</math> is represented with the aid of the map <math>\Im_A(x)</math> in the space of density operators defined as
 {| width="80%" |
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 |}
-where <math>Tr_\mathcal{H}</math> is the partial trace over <math>\mathcal{H}</math> . Then, the map  <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math>turn out to be a quantum instrument. Thus, the statistical properties of the measurement realized by any indirect measurement model <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> is described by a quantum measurement. We remark that conversely any quantum instrument can be represented via the indirect measurement model (Ozawa, 1984). Thus, quantum instruments mathematically characterize the statistical properties of all the physically realizable quantum measurements.
+où <math>Tr_\mathcal{H}</math> est la trace partielle sur <math>\mathcal{H}</math>. Ensuite, la carte <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> s'avère être un instrument quantique. Ainsi, les propriétés statistiques de la mesure réalisée par tout modèle de mesure indirect <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> sont décrites par une mesure quantique. Remarquons qu'à l'inverse tout instrument quantique peut être représenté via le modèle de mesure indirecte (Ozawa, 1984).<ref name=":0" /> Ainsi, les instruments quantiques caractérisent mathématiquement les propriétés statistiques de toutes les mesures quantiques physiquement réalisables.