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8.2. Funciones biológicas en el marco cuántico de Markov

Pasamos a la dinámica de sistemas abiertos con la ecuación GKSL. En nuestro modelo, hamiltoniano ${\widehat {\mathcal {H}}}$ y Lindbladian ${\widehat {L}}$ representan alguna función biológica especial $F$ (ver Khrennikov et al., 2018)para detalles. Su funcionamiento resulta de la interacción de flujos de información internos y externos. En las Secciones 10, 11.3, $F$ es alguna función psicológica; en el caso más simple $F$ representa una pregunta hecha a  $S$ (digamos que es un ser humano). En la Sección 7, $F$  es la regulación génica del metabolismo de la glucosa/lactosa en la bacteria Escherichia coli. En las Secciones 9, 11.2,  $F$ representa el proceso de mutación epigenética. Función simbólicamente biológica $F$ se representa como un observable cuántico: operador hermitiano ${\widehat {F}}$con la descomposición espectral ${\widehat {F}}=\sum _{x}x{\widehat {E}}^{F}(x)$,dónde $x$ etiqueta las salidas de $F$.La teoría de la dinámica de estado cuántica de Markov describe el proceso de generación de estos resultados.

En el modelo matemático (Asano et al., 2015b, Asano et al., 2017b, Asano et al., 2017a, Asano et al., 2015a, Asano et al., 2012b, Asano et al., 2011, Asano et al. ., 2012a), los resultados de la función biológica $F$ se generan acercándose a un estado estable de la dinámica GKSL:

$\lim _{t\to \infty }{\widehat {\rho }}(t)={\widehat {\rho }}_{steady}$

$(25)$

tal que coincide con la descomposición espectral de ${\widehat {F}}$,es decir.,

${\widehat {\rho }}_{steady}=\sum _{x}p_{x}{\widehat {E}}^{F}(x)$

$(26)$

dónde

$p_{x}\geq \sum _{x}p_{x}=1$

$(26)$

Esto significa que ${\widehat {\rho }}_{steady}$es diagonal en una base ortonormal que consta de vectores propios de ${\widehat {F}}$. Este estado, o más precisamente, esta descomposición del operador de densidad ${\widehat {\rho }}_{steady}$,es la mezcla estadística clásica de los estados básicos de información que determinan esta función biológica. Las probabilidades en la descomposición de estados (26) se interpretan estadísticamente.

Considere un gran conjunto de biosistemas con el estado ${\widehat {\rho }}_{0}$ interactuando con el medio ambiente $\varepsilon$. (Recordemos que matemáticamente la interacción está codificada en el Lindbladian ${\widehat {L}}$) Como resultado de esta interacción, la función biológica $F$ produce salida $x$ con probabilidad $p_{x}$.Observamos que en los términos del operador la probabilidad se expresa como $p_{x}=Tr{\widehat {\rho }}_{steady}{\widehat {E}}^{F}(x)$

Esta interpretación se puede aplicar incluso a un solo biosistema que se encuentra con el mismo entorno muchas veces.

Cabe señalar que el estado límite ${\widehat {\rho }}_{steady}$ expresa la estabilidad con respecto a la influencia del entorno concreto $\varepsilon$.Por supuesto, en el mundo real nunca se alcanzaría el estado límite. La fórmula matemática (25) describe el proceso de estabilización, amortiguación de fluctuaciones. Pero, nunca desaparecerían por completo con el tiempo.

Observamos que un estado estacionario satisface la ecuación GKSL estacionaria:

$i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }}_{steady}]={\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}_{steady}]$

$(27)$

También es importante señalar que, en general, un estado estacionario de la ecuación maestra cuántica no es único, depende de la clase de condiciones iniciales.