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8. Systèmes quantiques ouverts : interaction d'un biosystème avec son environnement

Comme cela a déjà été souligné, tout biosystème $S$ est fondamentalement ouvert. Par conséquent, la dynamique de son état doit être modélisée via une interaction avec l'environnement environnant $\varepsilon$ . Les états de $S$ et $\varepsilon$ sont représentés dans les espaces de Hilbert ${\mathcal {H}}$ et ${\mathcal {H}}$ . Le système composé $S+\varepsilon$ est représenté dans les espaces de Hilbert du produit tensoriel ${\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ . Ce système est traité comme un système isolé et conformément à la théorie quantique, la dynamique de son état pur peut être décrite par l'équation de Schrödinger :

i{\tfrac {d}{dt}}\Psi (t)={\widehat {H}}\Psi (t)(t),\Psi (0)=\Psi _{0}

(21)

où $\psi (t)$ est l'état pur du système $S+\varepsilon$ et ${\hat {\mathcal {H}}}$ est son hamiltonien. Cette équation implique que l'état pur $\psi (t)$ évolue unitaire : $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$ . Ici ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ Hamiltonien (générateur d'évolution) décrivant les interactions d'information a la forme ${\hat {\mathcal {H}}}={\hat {\mathcal {H}}}_{s}+{\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }+{\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$ , où ${\hat {\mathcal {H}}}_{s}$ , ${\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }$ sont des Hamiltoniens des systèmes et ${\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$ est l'Hamiltonien d'interaction.(12) Cette équation implique que l'évolution de l'opérateur de densité ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ du système $S+\varepsilon$ est décrite par l'équation de von Neumann :

{\tfrac {d{\widehat {R}}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {R}},(t)],{\widehat {R}}(0)={\widehat {R}}_{0}

(22)

Cependant, l'état ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ est trop complexe pour toute analyse mathématique : l'environnement comprend trop de degrés de liberté. Par conséquent, nous ne nous intéressons qu'à l'état $S$ ; sa dynamique est obtenue par traçage de l'état de $S+\varepsilon$ w.r.t. les degrés de liberté de $\varepsilon$ :

{\widehat {\rho }}(t)=Tr_{\mathcal {H}}{\widehat {R}}(t)

(23)

Généralement cette équation, l'équation maîtresse quantique, est mathématiquement très compliquée. Une variété d'approximations est utilisée dans les applications.

8.1. Modèle quantique de Markov : Équation de Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblade

L'approximation la plus simple de l'équation maîtresse quantique (23) est la dynamique de Markov quantique donnée par l'équation de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKSL) (Ingarden et al., 1997)^[1] (en physique, elle est communément appelée simplement l'équation de Lindblad ; c'est l'équation maîtresse quantique la plus simple):

{\tfrac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }},(t)]+{\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}(t),{\widehat {\rho }}(0)={\widehat {\rho }}_{0}

(24)

où l'opérateur hermitien (Hamiltonien) ${\widehat {\mathcal {H}}}$ décrit la dynamique interne de $S$ et le superopérateur ${\widehat {L}}$ , agissant dans l'espace des opérateurs de densité, décrit une interaction avec l'environnement $\varepsilon$ . Ce superopérateur est souvent appelé Lindbladian. L'équation GKSL est une équation maîtresse quantique pour la dynamique markovienne. Dans cet article, nous n'avons pas la possibilité d'expliquer plus en détail la notion de Markovianité quantique. L'équation maîtresse quantique (23) décrit une dynamique généralement non markovienne.

↑ Ingarden R.S., Kossakowski A., Ohya M. Information Dynamics and Open Systems: Classical and Quantum Approach. Kluwer, Dordrecht (1997)

[1] Ingarden R.S., Kossakowski A., Ohya M. Information Dynamics and Open Systems: Classical and Quantum Approach. Kluwer, Dordrecht (1997)

[1]

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-==8. Open quantum systems: interaction of a biosystem with its environment==
+==8. Systèmes quantiques ouverts : interaction d'un biosystème avec son environnement==
-As was already emphasized, any biosystem <math>S</math> is fundamentally open. Hence, dynamics of its state has to be modeled via an interaction with surrounding environment <math>
+Comme cela a déjà été souligné, tout biosystème <math>S</math> est fondamentalement ouvert. Par conséquent, la dynamique de son état doit être modélisée via une interaction avec l'environnement environnant <math>
-\varepsilon</math>. The states of  <math>S</math> and <math>
+\varepsilon</math>. Les états de <math>S</math> et <math>
-\varepsilon</math> are represented in the Hilbert spaces <math>\mathcal{H}</math> and <math>\mathcal{H}</math>. The compound system <math>S+\varepsilon</math> is represented in the tensor product Hilbert spaces . This system is treated as an isolated system and in accordance with quantum theory, dynamics of its pure state can be described by the Schrödinger equation:
+\varepsilon</math> sont représentés dans les espaces de Hilbert <math>\mathcal{H}</math> et <math>\mathcal{H}</math>. Le système composé <math>S+\varepsilon</math> est représenté dans les espaces de Hilbert du produit tensoriel<math>\mathcal{H}\otimes
+\mathcal{H}</math>. Ce système est traité comme un système isolé et conformément à la théorie quantique, la dynamique de son état pur peut être décrite par l'équation de Schrödinger :
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 |}
-where <math>\psi(t)</math> is the pure state of the system <math>S+\varepsilon</math> and <math>\hat{\mathcal{H}}</math> is its Hamiltonian. This equation implies that the pure state <math>\psi(t)</math> evolves unitarily :<math>\psi(t)=\hat{U}(t)\psi_0</math>. Here <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal{H}}}</math>. Hamiltonian (evolution-generator) describing information interactions has the form <math>\hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{H}}_s+\hat{\mathcal{H}}_\varepsilon+{\mathcal{\hat H_{S,\varepsilon}}}</math>, where  <math>\hat{\mathcal{H}}_s</math>,<math>\hat{\mathcal{H}}_\varepsilon</math>are Hamiltonians of the systems and  <math>{\mathcal{\hat H_{S,\varepsilon}}}</math>is the interaction Hamiltonian.12 This equation implies that evolution of the density operator <math>\hat{\mathcal{R}}(t)</math> of the system <math>S+\varepsilon</math> is described by von Neumann equation:
+où <math>\psi(t)</math> est l'état pur du système <math>S+\varepsilon</math> et <math>\hat{\mathcal{H}}</math> est son hamiltonien. Cette équation implique que l'état pur <math>\psi(t)</math> évolue unitaire : <math>\psi(t)=\hat{U}(t)\psi_0</math>. Ici <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal{H}}}</math> Hamiltonien (générateur d'évolution) décrivant les interactions d'information a la forme <math>\hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{H}}_s+\hat{\mathcal{H}}_\varepsilon+{\mathcal{\hat H_{S,\varepsilon}}}</math>, où <math>\hat{\mathcal{H}}_s</math>, <math>\hat{\mathcal{H}}_\varepsilon</math>sont des Hamiltoniens des systèmes et <math>{\mathcal{\hat H_{S,\varepsilon}}}</math> est l'Hamiltonien d'interaction.(12) Cette équation implique que l'évolution de l'opérateur de densité <math>\hat{\mathcal{R}}(t)</math> du système <math>S+\varepsilon</math> est décrite par l'équation de von Neumann :
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 |}
-However, the state  <math>\hat{\mathcal{R}}(t)</math> is too complex for any mathematical analysis: the environment includes too many degrees of freedom. Therefore, we are interested only the state of <math>S</math>; its dynamics is obtained via tracing of the state of  <math>S+\varepsilon</math> w.r.t. the degrees of freedom of <math>\varepsilon</math> :
+Cependant, l'état <math>\hat{\mathcal{R}}(t)</math> est trop complexe pour toute analyse mathématique : l'environnement comprend trop de degrés de liberté. Par conséquent, nous ne nous intéressons qu'à l'état <math>S</math>; sa dynamique est obtenue par traçage de l'état de  <math>S+\varepsilon</math> w.r.t. les degrés de liberté de <math>\varepsilon</math>:
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-Generally this equation, ''the quantum master equation'', is mathematically very complicated. A variety of approximations is used in applications.
+Généralement cette équation, l'équation maîtresse quantique, est mathématiquement très compliquée. Une variété d'approximations est utilisée dans les applications.
-===8.1. Quantum Markov model: Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindbladequation===
+===8.1. Modèle quantique de Markov : Équation de Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblade===
-The simplest approximation of quantum master equation (23) is ''the quantum Markov dynamics'' given by the ''Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad'' (GKSL) equation (Ingarden et al., 1997) (in physics, it is commonly called simply the Lindblad equation; this is the simplest quantum master equation):
+L'approximation la plus simple de l'équation maîtresse quantique (23) est la dynamique de Markov quantique donnée par l'équation de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKSL) (Ingarden et al., 1997)<ref>Ingarden R.S., Kossakowski A., Ohya M. Information Dynamics and Open Systems: Classical and Quantum Approach. Kluwer, Dordrecht (1997)</ref> (en physique, elle est communément appelée simplement l'équation de Lindblad ; c'est l'équation maîtresse quantique la plus simple):
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-where Hermitian operator (Hamiltonian) <math>\widehat{\mathcal{H}}</math> describes the internal dynamics of <math>S</math> and the superoperator <math>\widehat{{L}}</math>, acting in the space of density operators, describes an interaction with environment <math>\varepsilon</math>. This superoperator is often called ''Lindbladian.'' The GKSL-equation is a quantum master equation for Markovian dynamics. In this paper, we have no possibility to explain the notion of quantum Markovianity in more detail. Quantum master equation (23) describes generally non-Markovean dynamics.
+où l'opérateur hermitien (Hamiltonien) <math>\widehat{\mathcal{H}}</math> décrit la dynamique interne de <math>S</math> et le superopérateur <math>\widehat{{L}}</math>, agissant dans l'espace des opérateurs de densité, décrit une interaction avec l'environnement <math>\varepsilon</math>. Ce superopérateur est souvent appelé Lindbladian. L'équation GKSL est une équation maîtresse quantique pour la dynamique markovienne. Dans cet article, nous n'avons pas la possibilité d'expliquer plus en détail la notion de Markovianité quantique. L'équation maîtresse quantique (23) décrit une dynamique généralement non markovienne.
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