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3.3. Actualización de estado no proyectivo: instrumentos atómicos

En general, las propiedades estadísticas de cualquier medida se caracterizan por

1. la distribución de probabilidad de salida ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x\parallel \rho \}}$, la distribución de probabilidad de la salida ${\textstyle x}$ de la medida en el estado de entrada ${\textstyle \rho }$;
2. la reducción del estado cuántico ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$,el cambio de estado desde el estado de entrada ${\textstyle \rho }$ al estado de salida ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$condicionado al resultado ${\textstyle {\text{X}}=x}$ de la medida

En la formulación de von Neumann, las propiedades estadísticas de cualquier medida de un observable están determinadas únicamente por la regla de Born (5) y el postulado de proyección (6), y están representadas por el mapa (9), un instrumento de tipo von Neumann. Sin embargo, la formulación de von Neumann no refleja el hecho de que el mismo $A$ representado por el operador hermitiano ${\hat {A}}$ en ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ puede medirse de muchas maneras.8 Formalmente, tales esquemas de medición están representados por instrumentos cuánticos.

Ahora, consideramos los instrumentos cuánticos más simples del tipo no von Neumann, conocidos como instrumentos atómicos. Comenzamos recordando la noción de POVM (medida valorada por el operador de probabilidad); restringimos las consideraciones a POVM con un dominio de definición discreto ${\textstyle X=\{x_{1}....,x_{N}.....\}}$. POVMes un mapa ${\textstyle x\rightarrow {\hat {D}}(x)}$ tal que para cada ${\textstyle x\in X}$,${\hat {D}}(x)$es un operador hermitiano contractivo positivo (llamado efecto) (es decir,,${\textstyle {\hat {D}}(x)^{*}={\hat {D}}(x),0\leq \langle \psi |{\hat {D}}(x)\psi \rangle \leq 1}$ o cualquier ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$), y la condición de normalización

${\textstyle \sum _{x}{\hat {D}}(x)=I}$

sostiene, donde ${\textstyle I}$ es el operador de la unidad. Se supone que para cualquier medida, la distribución de probabilidad de salida ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}}$ es dado por

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{\hat {D}}(x)\rho ]}$

$(10)$

dónde ${\textstyle {\hat {D}}(x)}$  es un POVM. Para instrumentos atómicos, se supone que los efectos se representan concretamente en la forma

${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {V}}(x)^{*}{\hat {V}}(x)}$

$(11)$

dónde ${\textstyle {V}(x)}$Es un operador lineal en ( ${\textstyle {\mathcal {H}}}$.Por lo tanto, la condición de normalización tiene la forma ${\textstyle \sum _{x}V(x)^{*}V(x)=I}$.9 La regla de Born se puede escribir de manera similar a (5):

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{V}(x)\rho {V}^{*}(x)]}$

$(12)$

Se supone que la transformación del estado posterior a la medición se basa en el mapa:

*

${\textstyle \rho \rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)\rho =V(X)\rho V^{*}(x)}}}$

$(13)$

por lo que la reducción del estado cuántico viene dada por

*

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{x}}=x)}={\frac {{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho }{Tr[{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho ]}}}$

$(14)$

El mapa $x\rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)}}$ dada por (13) es un instrumento cuántico atómico. Observamos que la regla de Born (12) se puede escribir en la forma

*

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[\Im _{A}(x)\rho ]}$

$(15)$f

Dejar ${\hat {A}}$ ser un operador hermitiano en ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Considere un POVM ${\textstyle {\hat {D}}={\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ con el dominio de definición dado por el espectro de ${\hat {A}}$. Este POVM representa una medida de observable $A$ si se cumple la regla de Born:

${\textstyle Pr\{{\text{A}}=x||\rho \}=Tr[{\widehat {D}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]}$

$(16)$

Por lo tanto, en principio, las probabilidades de los resultados todavía están codificadas en la descomposición espectral del operador ${\hat {A}}$O en otras palabras operadores ${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ deben seleccionarse de tal manera que generen las probabilidades correspondientes a la descomposición espectral de la representación simbólica ${\hat {A}}$ de observables $A$,es decir.,${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ está determinada únicamente por ${\hat {A}}$ como ${\textstyle {\hat {D}}^{A}(x)={\hat {E}}^{A}(x)}$. Podemos decir que este operador solo lleva información sobre las probabilidades de los resultados, en contraste con el esquema de von Neumann, el operador ${\hat {A}}$ no codifica la regla de actualización de estado. Para un instrumento atómico, las mediciones del observable $A$ tiene la distribución de probabilidad de salida única según la regla de Born (16), pero tiene muchas reducciones de estado cuántico diferentes dependiendo de la descomposición del efecto ${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {E}}^{A}(x)=V(x)^{*}V(x)}$ de una manera que

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{A}}=x)}={\frac {{V}(x)\rho V(x)^{*}}{Tr[{V}(x)\rho V(x)^{*}]}}}$

$(17)$

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