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3. Strumenti quantistici

3.1. Qualche parola sul formalismo quantistico

Denota con ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ uno spazio di Hilbert complesso. Per semplicità assumiamo che sia di dimensione finita. Gli stati puri di un sistema $S$ sono dati da vettori normalizzati di ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ e gli stati misti da operatori di densità (operatori semidefiniti positivi con traccia unitaria). Lo spazio degli operatori di densità è indicato da $S({\mathcal {H}})$ ). Lo spazio di tutti gli operatori lineari in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ è indicato dal simbolo ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ . A sua volta, questo è uno spazio lineare. Inoltre, ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ è lo spazio complesso di Hilbert con il prodotto scalare ${\textstyle <A|B>=TrA^{*}B}$ . Consideriamo operatori lineari che agiscono in ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ . Sono chiamati superoperatori.

La dinamica dello stato puro di un sistema quantistico isolato è descritta dall'equazione di Schrödinger:

i{\tfrac {d}{dt}}\psi (t)={\widehat {H}}\psi (t)(t),\psi (0)=\psi _{0}

(3)

dove ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ è l'hamiltoniano del sistema. Questa equazione implica che lo stato puro $\psi (t)$ evolve unitariamente $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$ , dove ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ è un gruppo parametrico di operatori unitari, ${\hat {U}}(t):{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ . Nella fisica quantistica, l'hamiltoniano ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ è associato all'energia osservabile. La stessa interpretazione è utilizzata nella biofisica quantistica (Arndt et al., 2009).^[1] Tuttavia nella nostra modellazione quantistica che descrive l'elaborazione delle informazioni nei biosistemi, l'operatore ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ non ha un accoppiamento diretto con l'energia fisica. Questo è il generatore di evoluzione che descrive le interazioni delle informazioni.

La dinamica di Schrödinger per uno stato puro implica che la dinamica di uno stato misto (rappresentato da un operatore di densità) è descritta dall'equazione di von Neumann:

{\frac {d{\hat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {\rho }}(t)],{\hat {\rho }}(0)={\hat {\rho }}_{0}

(4)

↑ Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400, 10.2976/1.3244985

[1] Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400, 10.2976/1.3244985

[1]

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-==3. Quantum instruments==
+==3. Strumenti quantistici==
-===3.1. A few words about the quantum formalism===
+===3.1. Qualche parola sul formalismo quantistico===
-Denote by  <math display="inline">\mathcal{H}</math> a complex Hilbert space. For simplicity, we assume that it is finite dimensional. Pure states of a system <math>S</math> are given by normalized vectors of  <math display="inline">\mathcal{H}</math> and mixed states by density operators (positive semi-definite operators with unit trace). The space of density operators is denoted by <math>S</math> (<math display="inline">\mathcal{H}</math>). The space of all linear operators in <math display="inline">\mathcal{H}</math> is denoted by the symbol <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> . In turn, this is a linear space. Moreover, <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> is the complex Hilbert space with the scalar product, <math display="inline"><A|B>=TrA^*B</math>. We consider linear operators acting in <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. They are called ''superoperators.''
+Denota con <math display="inline">\mathcal{H}</math> uno spazio di Hilbert complesso. Per semplicità assumiamo che sia di dimensione finita. Gli stati puri di un sistema <math>S</math> sono dati da vettori normalizzati di <math display="inline">\mathcal{H}</math> e gli stati misti da operatori di densità (operatori semidefiniti positivi con traccia unitaria). Lo spazio degli operatori di densità è indicato da <math>S(\mathcal{H})</math>). Lo spazio di tutti gli operatori lineari in <math display="inline">\mathcal{H}</math> è indicato dal simbolo <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. A sua volta, questo è uno spazio lineare. Inoltre, <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> è lo spazio complesso di Hilbert con il prodotto scalare <math display="inline"><A|B>=TrA^*B</math>. Consideriamo operatori lineari che agiscono in <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. Sono chiamati ''superoperatori''.
-The dynamics of the pure state of an isolated quantum system is described by ''the Schrödinger equation:''
+La dinamica dello stato puro di un sistema quantistico isolato è descritta dall'equazione di Schrödinger:
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+dove <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> è l'hamiltoniano del sistema. Questa equazione implica che lo stato puro <math>\psi(t)</math> evolve unitariamente <math>\psi(t)= \hat{U}(t)\psi_0</math>, dove <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal H}}</math> è un gruppo parametrico di operatori unitari, <math>\hat{U}(t):\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}</math>. Nella fisica quantistica, l'hamiltoniano <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> è associato all'energia osservabile. La stessa interpretazione è utilizzata nella biofisica quantistica (Arndt et al., 2009).<ref>Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400, 10.2976/1.3244985</ref> Tuttavia nella nostra modellazione quantistica che descrive l'elaborazione delle informazioni nei biosistemi, l'operatore  <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> non ha un accoppiamento diretto con l'energia fisica. Questo è il generatore di evoluzione che descrive le interazioni delle informazioni.
-where <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math>  is system’s Hamiltonian. This equation implies that the pure state <math>\psi(t)</math> evolves unitarily <math>\psi(t)= \hat{U}(t)\psi_0</math>, where  <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal H}}</math> is one parametric group of unitary operators,<math>\hat{U}(t):\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}</math> . In quantum physics, Hamiltonian  <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> is associated with the energy-observable. The same interpretation is used in quantum biophysics (Arndt et al., 2009). However, in our quantum-like modeling describing information processing in biosystems, the operator  <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> has no direct coupling with physical energy. This is the evolution-generator describing information interactions.
+La dinamica di Schrödinger per uno stato puro implica che la dinamica di uno stato misto (rappresentato da un operatore di densità) è descritta dall'equazione di ''von Neumann'':
-Schrödinger’s dynamics for a pure state implies that the dynamics of a mixed state (represented by a density operator) is described by the ''von Neumann equation'':
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