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2. Probabilità classica vs probabilità quantistica

La Probabilità Classica (CP) è stato formalizzato matematicamente da Kolmogorov (1933).^[1] Questo è il calcolo delle misure di probabilità, in cui a ogni evento $p(A)$ viene assegnato un peso non negativo $A$ . La proprietà principale di CP è la sua additività: se due eventi $O_{1},O_{2}$ sono disgiunti, allora la probabilità di disgiunzione di questi eventi è uguale alla somma delle probabilità:

P(O_{1}\lor O_{2})=P(O_{1})+(O_{2})

La Probabilità Quantistica (QP) è il calcolo delle ampiezze complesse o nel formalismo astratto vettori complessi. Pertanto, invece di operazioni su misure di probabilità si opera con vettori. Possiamo dire che QP è un modello vettoriale di ragionamento probabilistico. Ogni ampiezza complessa $\psi$ fornisce la probabilità in base alla regola di Born: la probabilità è ottenuta come quadrato del valore assoluto dell'ampiezza complessa.

{\displaystyle P=|\psi |^{2}}

(per la formalizzazione dello spazio di Hilbert, vedere la Sezione 3.2, formula (7)). Operando con ampiezze di probabilità complesse, invece dell'operazione diretta con le probabilità, si possono violare le leggi fondamentali di CP.

In CP, la formula della probabilità totale (FTP) è derivata utilizzando l'additività della probabilità e la formula di Bayes, la definizione di probabilità condizionata, $P(O_{2}|O_{1})={\tfrac {P(O_{2})\cap (O_{1})}{PO_{1}}}$ , $P(O_{1})>0$ .

Consideriamo una coppia di variabili casuali classiche discrete. Allora

P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )

Pertanto, nella CP la distribuzione di probabilità $B$ può essere calcolata dalla probabilità $A$ e dalle probabilità condizionate $P(B=\beta |A=\alpha )$ . Nella QP, la FTP classico è perturbato dal termine di interferenza (Khrennikov, 2010);^[2] per le osservabili quantistiche dicotomiche $A$ e $B$ di tipo von Neumann, cioè date dagli operatori hermitiani ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ , la versione quantistica di FTP ha la forma:

P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})

(1)

Se il termine di interferenza è positivo, allora il calcolo QP genererebbe una probabilità maggiore della sua controparte CP data dal classico FTP (2). In particolare, questa amplificazione di probabilità è alla base della supremazia del calcolo quantistico.

Esistono numerosi dati statistici provenienti dalla psicologia cognitiva, dal processo decisionale, dalla biologia molecolare, dalla genetica e dall'epigenetica che dimostrano che i biosistemi, dalle proteine e cellule (Asano et al., 2015b)^[3] agli esseri umani (Khrennikov, 2010,^[4] Busemeyer e Bruza, 2012^[5]) usano questa amplificazione ed operano con aggiornamenti non CP. Continuiamo la nostra presentazione con tali esempi.

↑ Kolmogorov A.N. Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer-Verlag, Berlin (1933)
↑ Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)
↑ Asano M., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum Adaptivity in Biology: From Genetics To Cognition Springer, Heidelberg-Berlin-New York(2015)
↑ Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)
↑ Busemeyer J., Bruza P. Quantum Models of Cognition and Decision Cambridge Univ. Press, Cambridge(2012)

[1] Kolmogorov A.N. Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer-Verlag, Berlin (1933)

[2] Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)

[3] Asano M., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum Adaptivity in Biology: From Genetics To Cognition Springer, Heidelberg-Berlin-New York(2015)

[4] Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)

[5] Busemeyer J., Bruza P. Quantum Models of Cognition and Decision Cambridge Univ. Press, Cambridge(2012)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-==2. Classical versus quantum probability==
+==2. Probabilità classica ''vs'' probabilità quantistica==
-CP was mathematically formalized by Kolmogorov (1933)<ref name=":2" /> This is the calculus of probability measures, where a non-negative weight <math>p(A)</math> is assigned to any event <math>A</math>. The main property of CP is its additivity: if two events <math>O_1, O_2</math> are disjoint, then the probability of disjunction of these events equals to the sum of probabilities:
+La Probabilità Classica (CP) è stato formalizzato matematicamente da Kolmogorov (1933).<ref>Kolmogorov A.N. Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer-Verlag, Berlin (1933)</ref> Questo è il calcolo delle misure di probabilità, in cui a ogni evento <math>p(A)</math> viene assegnato un peso non negativo <math>A</math>. La proprietà principale di CP è la sua additività: se due eventi <math>O_1, O_2</math> sono disgiunti, allora la probabilità di disgiunzione di questi eventi è uguale alla somma delle probabilità:
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 |}
-QP is the calculus of complex amplitudes or in the abstract formalism complex vectors. Thus, instead of operations on probability measures one operates with vectors. We can say that QP is a ''vector model of probabilistic reasoning.'' Each complex amplitude <math>\psi</math> gives the probability by the Born’s rule: ''Probability is obtained as the square of the absolute value of the complex amplitude.''
+La Probabilità Quantistica (QP) è il calcolo delle ampiezze complesse o nel formalismo astratto vettori complessi. Pertanto, invece di operazioni su misure di probabilità si opera con vettori. Possiamo dire che QP è un ''modello vettoriale di ragionamento probabilistico''. Ogni ampiezza complessa <math>\psi</math> fornisce la probabilità in base alla regola di Born: la probabilità è ottenuta come quadrato del ''valore assoluto dell'ampiezza complessa''.
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-(for the Hilbert space formalization, see Section 3.2, formula (7)). By operating with complex probability amplitudes, instead of the direct operation with probabilities, one can violate the basic laws of CP.
+(per la formalizzazione dello spazio di Hilbert, vedere la Sezione 3.2, formula (7)). Operando con ampiezze di probabilità complesse, invece dell'operazione diretta con le probabilità, si possono violare le leggi fondamentali di CP.
-In CP, the ''formula of total probability'' (FTP) is derived by using additivity of probability and the Bayes formula, the definition of conditional probability, <math>P(O_2|O_1)=\tfrac{P(O_2)\cap(O_1)}{PO_1}
+In CP, la ''formula della probabilità totale'' (FTP) è derivata utilizzando l'additività della probabilità e la formula di Bayes, la definizione di probabilità condizionata, <math>P(O_2|O_1)=\tfrac{P(O_2)\cap(O_1)}{PO_1}
-</math>, <math>P(O_1)>0</math>
+</math>,<math>P(O_1)>0</math>.
-Consider the pair,  and , of discrete classical random variables. Then
+Consideriamo una coppia di variabili casuali classiche discrete. Allora
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+Pertanto, nella CP la distribuzione di probabilità <math>B</math> può essere calcolata dalla probabilità <math>A</math> e dalle probabilità condizionate <math>P(B=\beta|A=\alpha)</math>. Nella QP, la FTP classico è perturbato dal termine di interferenza (Khrennikov, 2010);<ref>Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)</ref> per le osservabili quantistiche dicotomiche <math>A</math> e <math>B</math> di tipo von Neumann, cioè date dagli operatori hermitiani <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math>, la versione quantistica di FTP ha la forma:
-Thus, in CP the <math>B</math>-probability distribution can be calculated from the <math>A</math>-probability and the conditional probabilities <math>P(B=\beta|A=\alpha)</math>
-In QP, classical FTP is perturbed by the interference term (Khrennikov, 2010<ref>Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)</ref>); for dichotomous quantum observables <math>A</math> and <math>B</math> of the von Neumann-type, i.e., given by Hermitian operators <math>\hat{A}</math> and <math>\hat{B}</math>, the quantum version of FTP has the form:
 {{:F:Krennikov1}}
-{| width="80%" |
-|-
-| width="33%" |&nbsp;
-| width="33%" |<math>+2\sum_{\alpha_1<\alpha_2}\cos\theta_{\alpha_1\alpha_2}\sqrt{P(A=\alpha_1)P(B=\beta|A=\alpha_1)} P(A=\alpha_2)
-P(B=\beta|a=\alpha_2)</math>
-| width="33%" align="right" |<math>(2)</math>
-|}
-If the interference term7 is positive, then the QP-calculus would generate a probability that is larger than its CP-counterpart given by the classical FTP (2). In particular, this probability amplification is the basis of the quantum computing supremacy.
+Se il termine di interferenza è positivo, allora il calcolo QP genererebbe una probabilità maggiore della sua controparte CP data dal classico FTP (2). In particolare, questa amplificazione di probabilità è alla base della supremazia del calcolo quantistico.
-There is a plenty of statistical data from cognitive psychology, decision making, molecular biology, genetics and epigenetics demonstrating that biosystems, from proteins and cells (Asano et al., 2015b<ref name=":11" />) to humans (Khrennikov, 2010<ref>Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)</ref>, Busemeyer and Bruza, 2012<ref name=":10" />) use this amplification and operate with non-CP updates. We continue our presentation with such examples.
+Esistono numerosi dati statistici provenienti dalla psicologia cognitiva, dal processo decisionale, dalla biologia molecolare, dalla genetica e dall'epigenetica che dimostrano che i biosistemi, dalle proteine e cellule (Asano et al., 2015b)<ref>Asano M., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum Adaptivity in Biology: From Genetics To Cognition Springer, Heidelberg-Berlin-New York(2015)</ref> agli esseri umani (Khrennikov, 2010,<ref>Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)</ref> Busemeyer e Bruza, 2012<ref>Busemeyer J., Bruza P. Quantum Models of Cognition and Decision Cambridge Univ. Press, Cambridge(2012)</ref>) usano questa amplificazione ed operano con aggiornamenti non CP. Continuiamo la nostra presentazione con tali esempi.