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===8.2. Funzioni biologiche nel framework quantistico di Markov===
Passiamo alla dinamica dei sistemi aperti con l'equazione GKSL. Nella nostra modellazione, Hamiltoniano  <math>\widehat{\mathcal{H}}</math> e Lindbladiano <math>\widehat{{L}}</math> rappresentano una ''funzione biologica speciale'' <math>F</math> (vedi Khrennikov et al., 2018)<ref>Khrennikov A., Basieva I., Pothos E.M., Yamato I.

Quantum Probability in Decision Making from Quantum Information Representation of Neuronal States, Sci. Rep., 8 (2018), Article 16225</ref> per i dettagli. Il suo funzionamento risulta dall'interazione di flussi informativi interni ed esterni. Nelle Sezioni 10, 11.3, <math>F</math> è una funzione psicologica; nel caso più semplice <math>F</math> rappresenta una domanda posta a <math>S</math> (diciamo che <math>S</math> è un essere umano). Nella Sezione 7, <math>F</math> è la regolazione genica del metabolismo del glucosio/lattosio nel batterio Escherichia coli. Nelle Sezioni 9, 11.2,  <math>F</math> rappresenta il processo di mutazione epigenetica. Simbolicamente la funzione biologica <math>F</math> è rappresentata come osservabile quantistica: l'operatore Hermitiano  <math>\widehat{F}</math> con la decomposizione spettrale <math>\widehat{F}=\sum_xx\widehat{E}^F(x)</math>, dove <math>x</math> etichetta gli output di <math>F</math>. La teoria della dinamica di stato di Markov quantistica descrive il processo di generazione di questi output.

Nel modello matematico (Asano et al., 2015b,<ref>Asano M., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I.

Quantum Adaptivity in Biology: From Genetics To Cognition

Springer, Heidelberg-Berlin-New York (2015)</ref> Asano et al., 2017b,<ref>Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Yamato I.

A model of differentiation in quantum bioinformatics

Prog. Biophys. Mol. Biol., 130 (Part A) (2017), pp. 88-98</ref> Asano et al., 2017a,<ref>Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y.

A quantum-like model of selection behavior

J. Math. Psychol., 78 (2017), pp. 2-12</ref> Asano et al., 2015a,<ref>Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I.

Quantum information biology: from information interpretation of quantum mechanics to applications in molecular biology and cognitive psychology Found. Phys., 45 (10) (2015), pp. 1362-1378</ref> Asano et al., 2012b,<ref>Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I.

Towards modeling of epigenetic evolution with the aid of theory of open quantum systems AIP Conf. Proc., 1508 (2012), p. 75</ref> Asano et al., 2011,<ref>Asano M., Ohya M., Tanaka Y., Basieva I., Khrennikov A.

Quantum-like model of brain’s functioning: decision making from decoherence J. Theor. Biol., 281 (1) (2011), pp. 56-64</ref> Asano et al. ., 2012a<ref>Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., I

Yamato quantum-like model for the adaptive dynamics of the genetic regulation of e. coli’s metabolism of glucose/lactose Syst. Synth. Biol., 6 (2012), pp. 1-7</ref>), gli output della funzione biologica <math>F</math> sono generati avvicinandosi a uno stato stazionario della dinamica GKSL:
{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>\lim_{t \to \infty}\widehat{\rho}(t)=\widehat{\rho}_{steady}</math>
| width="33%" align="right" |<math>(25)</math>
|}

tale che corrisponda alla decomposizione spettrale di <math>\widehat{F}</math>, cioè,  

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>\widehat{\rho}_{steady}=\sum_x p_x\widehat{E}^F(x)</math> 
| width="33%" align="right" |<math>(26)</math>
|}

dove

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>p_x\geq\sum_xp_x=1</math>
| width="33%" align="right" |<math>(26)</math>
|}

Ciò significa che <math>\widehat{\rho}_{steady}</math> è diagonale in una base ortonormale costituita da autovettori di <math>\widehat{F}</math>. Questo stato, o più precisamente, questa scomposizione dell'operatore di densità <math>\widehat{\rho}_{steady}</math>, è la classica miscela statistica degli stati informativi di base che determinano questa funzione biologica. Le probabilità nella decomposizione dello stato (26) sono interpretate statisticamente.

Consideriamo un grande insieme di biosistemi con lo stato <math>\widehat{\rho}_0</math> che interagiscono con l'ambiente <math>\varepsilon</math>. (ricordiamo che matematicamente l'interazione è codificata nel Lindbladian <math>\widehat{{L}}</math>) Risultando da questa interazione, la funzione biologica <math>F</math> produce output <math>x</math> con probabilità <math>p_x</math>. Osserviamo che in termini operatore la probabilità è espressa come <math>p_x=Tr\widehat{\rho}_{steady}\widehat{E}^F(x)</math>

Questa interpretazione può essere applicata anche a un singolo biosistema che incontra più volte lo stesso ambiente.

Va notato che lo stato limite <math>\widehat{\rho}_{steady}</math> esprime la stabilità rispetto all'influenza dell'ambiente concreto <math>\varepsilon</math>. Naturalmente, nel mondo reale lo stato limite non verrebbe mai avvicinato. La formula matematica (25) descrive il processo di stabilizzazione, smorzamento delle fluttuazioni che, però, non sarebbero mai scomparsi completamente con il tempo.

Notiamo che uno stato stazionario soddisfa l'equazione GKSL stazionaria:
{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>i[\widehat{H},\widehat{\rho}_{steady}]= \widehat{L}[\widehat{\rho}_{steady}]</math>
| width="33%" align="right" |<math>(27)</math>
|}

È anche importante sottolineare che generalmente uno stato stazionario dell'equazione master quantistica non è unico, dipende dalla classe delle condizioni iniziali.