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== Introduction ==
Les méthodes mathématiques standard ont été développées à l'origine pour servir la physique classique. L'analyse réelle a servi de base mathématique à la mécanique newtonienne (Newton, 1687)<ref>{{cita libro 
 | autore = Newton Isaac
 | titolo = Philosophiae naturalis principia mathematica
 | url = https://archive.org/details/bub_gb_6EqxPav3vIsC
 | volume = 
 | opera = 
 | anno = 1687
 | editore = Benjamin Motte
 | città = London UK
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 | DOI = 
 | PMID = 
 | PMCID = 
 | oaf = <!-- qualsiasi valore -->
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 }}</ref> (et plus tard au formalisme hamiltonien) ; la mécanique statistique classique a stimulé l'approche théorique de la mesure de la théorie des probabilités, formalisée dans l'axiomatique de Kolmogorov (Kolmogorov, 1933).<ref>Kolmogorov A.N.Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer-Verlag, Berlin (1933)</ref> Cependant, le comportement des systèmes biologiques diffère essentiellement du comportement des systèmes mécaniques, par exemple des corps rigides, des molécules de gaz ou des fluides. Par conséquent, bien que les «mathématiques classiques» jouent toujours le rôle crucial dans la modélisation biologique, il semble qu'elles ne puissent pas décrire pleinement la riche complexité des biosystèmes et les particularités de leur comportement - par rapport aux systèmes mécaniques. De nouvelles méthodes mathématiques de modélisation des biosystèmes sont en demande.(a,b)

Dans cet article, nous présentons les applications du formalisme mathématique de la mécanique quantique et de sa méthodologie à la modélisation du comportement des biosystèmes. (c) Les dernières années ont été caractérisées par une explosion d'intérêt pour les applications de la théorie quantique en dehors de la physique, en particulier en psychologie cognitive, la prise de décision, le traitement de l'information dans le cerveau, la biologie moléculaire, la génétique et l'épigénétique, et la théorie de l'évolution.4 Nous appelons les modèles correspondants de type quantique. Ils ne sont pas dirigés vers la modélisation au niveau micro des processus physiques quantiques réels dans les biosystèmes, disons dans les cellules ou les cerveaux (cf. avec les applications biologiques de la théorie physique quantique authentique Penrose 1989,<ref>Penrose R. The Emperor’S New Mind Oxford Univ. Press, New-York (1989)</ref> Umezawa 1993,<ref>Umezawa H. Advanced Field Theory: Micro, Macro and Thermal Concepts AIP, New York (1993)</ref> Hameroff 1994,<ref>Hameroff S. Quantum coherence in microtubules. a neural basis for emergent con- sciousness? J. Cons. Stud., 1 (1994)</ref> Vitiello 1995,<ref>Vitiello G. Dissipation and memory capacity in the quantum brain model Internat. J. Modern Phys. B, 9 (1995), p. 973</ref> Vitiello 2001,<ref>Vitiello G. My Double Unveiled: The Dissipative Quantum Model of Brain, Advances in Consciousness Research, John Benjamins Publishing Company(2001)</ref> Arndt et al., 2009,<ref>Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400, 10.2976/1.3244985</ref> Bernroider et Summhammer 2012,<ref>Bernroider G., Summhammer J. Can quantum entanglement between ion transition states effect action potential initiation? Cogn. Comput., 4 (2012), pp. 29-37</ref> Bernroider 2017<ref>Bernroider G. Neuroecology: Modeling neural systems and environments, from the quantum to the classical level and the question of consciousness J. Adv. Neurosci. Res., 4 (2017), pp. 1-9</ref>). La modélisation de type quantique fonctionne du point de vue de la théorie quantique en tant que théorie de la mesure. C'est le point de vue original de Bohr qui a conduit à l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique (voir Plotnitsky, 2009<ref>Plotnitsky A. Epistemology and Probability: Bohr, Heisenberg, SchrÖdinger and the Nature of Quantum-Theoretical Thinking Springer, Berlin, Germany; New York, NY, USA (2009</ref> pour une présentation détaillée et claire des vues de Bohr). L'une des principales spécialités des biosystèmes est la prise en compte des auto-mesures que les biosystèmes effectuent sur eux-mêmes. Dans notre modélisation, la capacité à effectuer des auto-mesures est considérée comme la caractéristique de base des fonctions biologiques (voir la section 8.2 et l'article de Khrennikov et al., 2018<ref name=":0">Khrennikov A., Basieva I., PothosE.M., Yamato I. Quantum Probability in Decision Making from Quantum Information Representation of Neuronal States, Sci. Rep., 8 (2018), Article 16225</ref>).

Les modèles de type quantique (Khrennikov, 2004b<ref>Khrennikov A. On quantum-like probabilistic structure of mental information Open Syst. Inf. Dyn., 11 (3) (2004), pp. 267-275</ref>) reflètent les caractéristiques des processus biologiques qui correspondent naturellement au formalisme quantique. Dans une telle modélisation, il est utile d'explorer la théorie de l'information quantique, qui peut être appliquée non seulement au micro-monde des systèmes quantiques. Généralement, les systèmes traitant l'information de manière quantique n'ont pas besoin d'être des systèmes physiques quantiques; en particulier, il peut s'agir de biosystèmes macroscopiques. Étonnamment, la même théorie mathématique peut être appliquée à toutes les échelles biologiques : des protéines, des cellules et des cerveaux aux humains et aux écosystèmes ; on peut parler de biologie de l'information quantique (Asano et al., 2015a<ref name=":1">Asano M., Basieva I., Khrennikov A., Ohya M., Tanaka Y., Yamato I. Quantum information biology: from information interpretation of quantum mechanics to applications in molecular biology and cognitive psychology Found. Phys., 45 (10) (2015), pp. 1362-1378</ref>).

Dans la modélisation de type quantique, la théorie quantique est considérée comme un calcul pour la prédiction et la transformation des probabilités. Le calcul des probabilités quantiques (QP) (Section 2) diffère essentiellement du calcul classique des probabilités (CP) basé sur l'axiomatique de Kolmogorov (Kolmogorov, 1933<ref name=":2">Kolmogorov A.N. Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer-Verlag, Berlin (1933)</ref>). En CP, les états des systèmes aléatoires sont représentés par des mesures de probabilité et les observables par des variables aléatoires ; dans QP, les états de systèmes aléatoires sont représentés par des vecteurs normalisés dans un espace de Hilbert complexe (états purs) ou généralement par des opérateurs de densité (états mixtes)5. Les superpositions représentées par des états purs sont utilisées pour modéliser l'incertitude qui n'est pas encore résolue par une mesure. L'utilisation des superpositions en biologie est illustrée par la Fig. 1 (voir Section 10 et article Khrennikov et al., 2018<ref name=":0" /> pour le modèle correspondant). La mise à jour QP résultant d'une observation est basée sur le postulat de projection ou des transformations plus générales d'états quantiques — dans le cadre de la théorie des instruments quantiques (Davies et Lewis, 1970,<ref name=":3">Davies E.B., Lewis J.T. An operational approach to quantum probability Comm. Math. Phys., 17 (1970), pp. 239-260</ref> Davies, 1976,<ref name=":4">Davies E.B. Quantum Theory of Open Systems. Academic Press, London (1976)</ref> Ozawa 1984,<ref name=":5">Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87</ref> Yuen, 1987,<ref name=":6">Yuen, H. P., 1987. Characterization and realization of general quantum measurements. M. Namiki and others (ed.) Proc. 2nd Int. Symp. Foundations of Quantum Mechanics, pp. 360–363.</ref> Ozawa 1997,<ref name=":7">Ozawa M. An operational approach to quantum state reduction Ann. Phys., NY, 259 (1997), pp. 121-137</ref> Ozawa, 2004,<ref name=":8">Ozawa M. Uncertainty relations for noise and disturbance in generalized quantum measurements Ann. Phys., NY, 311 (2004), pp. 350-416</ref> Okamura et Ozawa, 2016<ref name=":9">Okamura K., Ozawa M. Measurement theory in local quantum physics J. Math. Phys., 57 (2016), Article 015209</ref>) (Section 3).[[File:Schrodinger 1.jpeg|left|thumb|Figure 1. Illustration de la représentation de type quantique de l'incertitude générée par le potentiel d'action du neurone (initialement publiée dans Khrennikov et al. (2018).]]
Nous soulignons que la modélisation de type quantique élève le rôle de la commodité et de la simplicité de la représentation quantique des états et des observables. (Nous ignorons pragmatiquement le problème de l'interrelation de CP et QP.) En particulier, l'espace d'état quantique a la structure linéaire et les modèles linéaires sont plus simples. La transition de la dynamique non linéaire classique des processus électrochimiques dans les biosystèmes à la dynamique linéaire quantique accélère essentiellement l'évolution de l'état (Section 8.4). Cependant, dans ce cadre, «l'état» est l'état de l'information quantique d'un biosystème utilisé pour le traitement de l'incertitude quantique spéciale (section 8.2).