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== Modelo ==

Cada uno de los electrodos j se describe mediante un par ordenado (<math>x_j,y_j,z_j</math>) en un espacio tridimensional. Para completar este análisis, primero se proyectaron los electrodos sobre el plano (<math>x,y</math>), eliminando la profundidad de la cabeza. La Figura 1A muestra las ubicaciones de cada electrodo en este espacio 2d. Siguiendo esta proyección, los cursos de tiempo para cada uno de los 92 electrodos se transformaron de Hilbert y luego se normalizaron siguiendo el procedimiento enumerado usando la ecuación (2). Se definió una probabilidad en este espacio de posición de electrodos como el cuadrado del curso de tiempo transformado de Hilbert (Ec. 3), análoga a las funciones de onda de la mecánica cuántica. A continuación, se definieron ocho regiones Anterior L/R, Posterior L/R, Parietal L/R, Occipital L/R) agrupando los 92 electrodos, y las frecuencias de entrada de cada región fG se obtuvieron sumando las probabilidades de los electrodos dentro del grupo. luego integrándose en el tiempo.


<center>
{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>Prob_G(t)=\sum_{j=1}^{92} \Psi_k^* (t)\times\Psi_k (t); f_G=\tfrac{1}{T}\sum_{j=1}^{T}Prob_G(t)</math>
| width="33%" align="right" |<math>(6)</math>
|}
</center>

donde cada uno de los ocho grupos indicados por el subíndice tiene un número diferente de electrodos constituyentes N. En el occipital izquierdo y derecho hay 10 electrodos cada uno, en el parietal izquierdo y derecho hay 17 electrodos cada uno, en el posterior izquierdo y derecho hay son 10 y 11 electrodos respectivamente, y en el anterior izquierdo y derecho hay 8 y 9 electrodos respectivamente.

Al obtener las frecuencias de nivel de grupo, los valores promedio para la posición y el impulso se calcularon utilizando las Ecs. (4) y (5) (con expresiones idénticas para y). Finalmente, para determinar nuestro principio de incertidumbre análogo, buscamos expresiones de la forma<center>
{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>\bigtriangleup x=\sqrt{\langle x^2(t)\rangle-\langle x(t)\rangle^2}; 
\bigtriangleup p_x=\sqrt{\langle p_x^2(t)\rangle-\langle p_x(t)\rangle^2}</math>
| width="33%" align="right" |<math>(7)</math>
|}
</center>


La expresión para se puede aplicar fácilmente a las probabilidades y posiciones definidas anteriormente, lo que da como resultado el primer término dado por
<center>
{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>\langle x^2(t)\rangle=\sum_{j=1}^{92}P_j(t) x_j^2</math>
| width="33%" align="right" |<math>(8)</math>
|}
</center>

Y el segundo término dado por el cuadrado de la Ec. (4). El segundo término de <math>\Delta P_x</math> viene dado por el cuadrado de la ecuación. (5), pero el primer término tiene más matices. Esto se debe al número complejo que se devuelve al actuar el operador derivado dos veces sobre la probabilidad. Para superar esto, se usaron transformadas de Fourier para cambiar la ecuación. (5) en la base de cantidad de movimiento que luego permitió el cálculo eficiente de <math>P_x^2(t)</math>. Denotando <math>\tilde{P}_j(t)</math> como la probabilidad de espacio de cantidad de movimiento obtenida a través de una transformada de Fourier bidimensional no uniforme de la pseudofunción de onda del espacio de posición, Eq. (5) se puede reescribir como,  

<center>
{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>\langle p_x(t)\rangle=\sum_{j=1}^{92}\tilde{P}_j(t)p_j</math>
| width="33%" align="right" |<math>(9)</math>
|}
</center>
Lo que lleva a que el primer término en la expresión se escriba como,

<center>
{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math>\langle p_x^2(t)\rangle=m^2\sum_{j=1}^{92}\tfrac{x_j^2}{\tilde{p}_j(t)}[{d \over dt}P_j(t)]^2</math>
| width="33%" align="right" |<math>(10)</math>
|}
</center>

Se utilizó el envoltorio de Python FINUFFT para tomar la transformada de Fourier utilizando una FFT<ref>Barnett AH, Magland J, Klinteberg LAF. A parallel nonuniform fast Fourier transform library based on an “Exponential of semicircle” kernel. SIAM J. Sci. Comput. 2019;41:C479–C504. doi: 10.1137/18M120885X. [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Barnett, A. H. Aliasing error of the  kernel in the nonuniform fast Fourier transform. arXiv:2001.09405 [math.NA] (2020).</ref> no uniforme 2d tipo 3, y se encontró el valor mínimo en el tiempo de la relación de incertidumbre. Los puntos en el espacio de momento fueron muestreados en <math>p_x\in[-4,4]</math> y <math>p_y\in[-4,5]</math> junto con los dos puntos adicionales (<math>[-5,-4]</math>) y (<math>[-4,-5]</math>). 

La Figura 4 muestra las probabilidades de posición y momento respectivamente en su propia base. En el Material complementario 2 se presenta una animación que muestra cómo evolucionan en el tiempo para las diferentes condiciones.

 

[[File:Figure 4.jpeg|center|thumb|500x500px|<small>'''Figura 4: (A)''' Distribución de probabilidad para un solo sujeto en la base de posición. '''(B)''' Distribución de probabilidad de base de impulso para un solo sujeto. Los valores de impulso utilizados para la transformada de Fourier se indican mediante las ubicaciones de los puntos. Los puntos están codificados por color/tamaño para representar el valor de probabilidad en esa ubicación.</small>]]

Para calcular los valores informados en la Tabla 2, se encontró el valor correspondiente para cada sujeto, y estos se usaron para calcular el promedio del grupo informado aquí.

== Información suplementaria ==

Cifras complementarias.(28M, docx)

Información complementaria.(375K, docx)